Abitur Sachsen-Anhalt Mathematik 2024 · GK · Teil A · Analytische Geometrie

Gegeben sind die Punkte $P(2|0|23)$ und $Q_t(6|t|20)$ mit $t \in \mathbb{R}$.

Die Punkte $A(1|1|0)$, $B(4|1|0)$, $E(1|1|4)$ und $H(1|7|4)$ sind Eckpunkte des in der Abbildung dargestellten Quaders $ABCDEFGH$.

a

Geben Sie die Koordinaten des Punktes $G$ an.

$|$

$|$

$)$

Der Quader wird parallel zu einer Gerade so verschoben, dass sich der Schnittpunkt seiner Raumdiagonalen im Koordinatenursprung befindet.

Dabei entsteht der Quader $A'B'C'D'E'F'G'H'$.

b

Ermitteln Sie die Koordinaten des Punkts $H'$.

$|$

$|$

$)$

c

Geben Sie einen Eckpunkt des Quaders $A'B'C'D'E'F'G'H'$ an, der nur positive Koordinaten hat.

Gegeben sind die Punkte $P(2|0|23)$ und $Q_t(6|t|20)$ mit $t \in \mathbb{R}$.

Gegeben ist das Dreieck ABC mit den Eckpunkten A, B und C. Für den Punkt D gilt $\vec{OD} = \vec{OC} - 2 \cdot \vec{AB}$, wobei O den Koordinatenursprung bezeichnet.

Ermitteln Sie das Verhältnis des Inhalts der Fläche des Dreiecks ABC zum Inhalt der Fläche des Trapezes ABCD. Stellen Sie Ihr Vorgehen durch eine geeignete Ergänzung der Abbildung dar.

Gegeben sind die Punkte $P(2|0|23)$ und $Q_t(6|t|20)$ mit $t \in \mathbb{R}$.

a)

Entscheiden Sie, ob es einen Wert von $t$ gibt, für den die Gerade $PQ_t$ parallel zur $xy$-Ebene verläuft. Begründen Sie Ihre Entscheidung.

Gegeben sind die Punkte $P(2|0|23)$ und $Q_t(6|t|20)$ mit $t \in \mathbb{R}$.

b)

Der Koordinatenursprung und die Punkte $P$ und $Q_t$ bilden ein Dreieck. Ermitteln Sie diejenigen Werte von $t$, für die das Dreieck in $Q_t$ einen rechten Winkel hat.

$t_1 =$

$t_2 =$

Betrachtet wird das Quadrat, das die folgenden Eigenschaften besitzt:

Das Quadrat liegt in der $x_1x_2$-Ebene.

Ein Eckpunkt liegt im Koordinatenursprung.

Der Schnittpunkt der Diagonalen des Quadrats liegt auf der Gerade

$$g: \vec{x} = \begin{pmatrix} -1 \\ 4 \\ -2 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \text{ mit } \lambda \in \mathbb{R}.$$

Bestimmen Sie die Koordinaten des Schnittpunkts der Diagonalen und berechnen Sie den Flächeninhalt des Quadrats.

$M($

$|$

$|$

$)$