Abitur Sachsen-Anhalt Mathematik 2025 · LK · Teil A · Lineare Algebra

1 Aufgabe

Gegeben sind der Vektor $\vec{v} = \begin{pmatrix} 6 \\ a \end{pmatrix}$ mit $a > 0$ und die Matrix $M = \begin{pmatrix} 0 & b \\ 2 & 0 \end{pmatrix}$ mit $b \in \mathbb{R}$.

a

Bestimmen Sie den Wert von $a$, sodass $|\vec{v}| = 10$.

[2 BE]

$a =$

b

Ermitteln Sie für $a = 5$ den Wert von $b$, sodass die Vektoren $\vec{v}$ und $M \cdot \vec{v}$ zueinander orthogonal sind.

[3 BE]

$b =$

Betrachtet wird das folgende lineare Gleichungssystem mit einem Parameter $a \in \mathbb{R}$:

$$\begin{aligned} \text{I} &\quad x + 2\cdot y = a \\ \text{II} &\quad -y + 4\cdot z = 2 \\ \text{III} &\quad (4 - a^2)\cdot z = 2 + a \end{aligned}$$

Betrachtet wird das folgende lineare Gleichungssystem mit einem Parameter $a \in \mathbb{R}$:

$\begin{matrix}

\mathrm{I} & x & + & 2 \cdot y & & & = & a \\

\mathrm{II} & & & - y & + & 4 \cdot z & = & 2 \\

\mathrm{III} & & & & & (4 - a^2) \cdot z & = & 2 + a

\end{matrix}$

a

Bestimmen Sie die Lösung des Gleichungssystems für $a = 0$.

$x =$

$y =$

$z =$

b

Begründen Sie die folgende Aussage:

Es gibt einen Wert von $a$, für den das Gleichungssystem keine Lösung besitzt, und es gibt einen Wert von $a$, für den das Gleichungssystem unendlich viele Lösungen besitzt.

Betrachtet wird das folgende lineare Gleichungssystem mit einem Parameter $a \in \mathbb{R}$:

$$\begin{aligned} \text{I} &\quad x + 2\cdot y = a \\ \text{II} &\quad -y + 4\cdot z = 2 \\ \text{III} &\quad (4 - a^2)\cdot z = 2 + a \end{aligned}$$

Betrachtet werden die Matrizen $A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ und $X = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ mit $a, b, c, d \in \mathbb{R}$.

Untersuchen Sie, welche Bedingungen $a$, $b$, $c$ und $d$ erfüllen müssen, damit die Gleichung

$$(X+A)\cdot (X+A) = X^2 + 2\cdot A\cdot X + A^2$$

gilt.

$c =$

Gleichung für $a$ und $d$: