Aufgabe 1: Das Zyklotron · Abitur NRW Physik GK · Nachtermin 2023

a) Beschreiben Sie, wie ein Zyklotron aufgebaut ist, und gehen Sie dabei besonders darauf ein, wo das homogene elektrische Feld und die beiden homogenen magnetischen Felder wirken.

Lösung: Die gesamte Anordnung befindet sich im Vakuum. Sie besteht aus den beiden innen hohlen, D-förmigen Duanten $D_1$ und $D_2$, deren Form man sich wie eine in zwei Teile geschnittene flache Dose vorstellen kann. An die Duanten wird eine Spannung $U$ angelegt, die ein homogenes elektrisches Feld erzeugt, das nur im Spalt zwischen den Duanten, nicht aber im Inneren der Duanten vorhanden ist. Die beiden homogenen magnetischen Felder wirken jeweils nur im Inneren eines Duanten senkrecht zu diesem, nicht aber im Bereich des Spaltes zwischen den Duanten.

b) Erläutern Sie die Bewegung eines Protons bis zum Erreichen des Punktes $P_3$ in ihren verschiedenen Phasen. Begründen Sie, warum für den Betrieb des Zyklotrons eine Umpolung der Spannung $U$ notwendig ist, sobald sich das Proton zum ersten Mal im Inneren von $D_1$ befindet.

Lösung: Das Proton wird durch das homogene elektrische Feld aus der Ruhe bis zum Punkt $P_1$ geradlinig gleichmäßig beschleunigt. Es tritt dort senkrecht in das homogene magnetische Feld ein. In diesem zwingt die Lorentzkraft das Proton auf eine Bahn in Form eines Halbkreises mit betragsmäßig konstanter Bahngeschwindigkeit. Anschließend tritt das Proton im Punkt $P_2$ wieder in das elektrische Feld ein und wird durch dieses bis zum Stillstand im Punkt $P_3$ geradlinig gleichmäßig abgebremst. Um die Abbremsung auf der Strecke zwischen den Punkten $P_2$ und $P_3$ zu verhindern und stattdessen zu einer weiteren Erhöhung der Geschwindigkeit zu gelangen, muss die Richtung des elektrischen Feldes vor Erreichen des Punktes $P_2$ umgekehrt und daher also die Spannung $U$ umgepolt werden.

c) Skizzieren Sie in Abbildung 3 den Weg des Protons bis zu seinem ersten Verlassen von $D_2$.

Lösung: Das Proton beschreibt in $D_2$ einen Halbkreis im Uhrzeigersinn, dessen Radius größer ist als der Radius in $D_1$, und trifft wieder auf den Spalt oberhalb von $Q$.

c) Erläutern Sie die in Ihrer Skizze gezeigte Bewegung des Protons ab $P_2$.

Lösung: Ab dem Punkt $P_2$ wird das Proton durch das elektrische Feld so beschleunigt, dass sich der Geschwindigkeitsbetrag weiter erhöht. Im Duanten $D_2$ beschreibt es dann wegen der größeren Eintrittsgeschwindigkeit einen Halbkreis mit größerem Radius als zuvor in $D_1$.

2 a) Begründen Sie die Aussage, dass die kinetische Energie eines Protons bei jedem Durchgang durch den Spalt zwischen den Duanten um den Betrag $\Delta W_{\text{kin}} = e \cdot U$ zunimmt.

Lösung: Beim Eintritt in den Spalt zwischen den Duanten besitzt das Proton jeweils die (elektrische) potentielle Energie $W_{\text{pot}} = e \cdot U$. Diese wird beim Durchlaufen des Spalts in kinetische Energie des Protons umgewandelt, sodass sich diese beim Eintritt in den Duanten aufgrund des Energieerhaltungssatzes um den Betrag $\Delta W_{\text{kin}} = e \cdot U$ erhöht.

2 a) Bestimmen Sie den Wert der Spannung $U$.

Lösung: 8000 V / 8 kV

2 b) Begründen Sie mithilfe eines energetischen Ansatzes die Gleichung für $v$ und prüfen Sie die Maßeinheit.

Lösung: Aus der gesamten kinetischen Energie $W_{\text{kin}} = \frac{1}{2} m_p v^2 = n \cdot e \cdot U$ erhält man durch Umformung die gegebene Gleichung: $$v = \sqrt{\frac{2 \cdot n \cdot e \cdot U}{m_p}}$$ Die Prüfung der Maßeinheiten liefert: $$\sqrt{\frac{\text{C} \cdot \text{V}}{\text{kg}}} = \sqrt{\frac{\text{J}}{\text{kg}}} = \sqrt{\frac{\text{kg} \cdot \frac{\text{m}^2}{\text{s}^2}}{\text{kg}}} = \frac{\text{m}}{\text{s}}$$

2 b) Bestimmen Sie die Geschwindigkeit $v$ des Protons als Vielfaches der Lichtgeschwindigkeit $c$.

Lösung: 0,051 / 0,051 c

2 c) Leiten Sie die Gleichung für den Radius her und zeigen Sie die Formel für das Verhältnis der Bahnradien $\frac{r_{k+1}}{r_k}$.

Lösung: Entlang der Kreisbahn im Duanten wirkt die Lorentzkraft $F_L = e \cdot v \cdot B$ als Zentripetalkraft $F_Z = \frac{m_p \cdot v^2}{r}$ auf das Proton. Somit gilt $F_Z = F_L$: $$\frac{m_p \cdot v^2}{r} = e \cdot v \cdot B \implies r = \frac{m_p \cdot v}{e \cdot B}$$ Man erkennt den Zusammenhang $\frac{r_{k+1}}{r_k} = \frac{v_{k+1}}{v_k}$, wobei $v_k$ die Geschwindigkeit nach $k$ Durchgängen angibt. Gemäß Aufgabenteil b) gilt: $$v_k \propto \sqrt{k} \implies \frac{v_{k+1}}{v_k} = \sqrt{\frac{k+1}{k}}$$ Daraus folgt die Behauptung: $$\frac{r_{k+1}}{r_k} = \sqrt{\frac{k+1}{k}}$$

2 d) Berechnen Sie die Ruheenergie $E_0$ eines Protons in der Einheit MeV.

Lösung: 938,6 MeV / 939 MeV

2 d) Weisen Sie durch eine Rechnung nach, dass relativistische Effekte bei den Geschwindigkeiten der Protonen im Zyklotron von 1932 vernachlässigt werden konnten.

Lösung: Die relativistische Gleichung liefert: $$v = c \cdot \sqrt{1 - \frac{1}{\left(1 + \frac{n \cdot e \cdot U}{E_0}\right)^2}} = c \cdot \sqrt{1 - \frac{1}{\left(1 + \frac{1{,}2\text{ MeV}}{938{,}6\text{ MeV}}\right)^2}} = 0{,}051 \cdot c$$ Die klassische und die relativistische Rechnung liefern jeweils einen Wert von $5{,}1\,\%$ der Lichtgeschwindigkeit ($0{,}051\,c$), sodass bei diesem Beispiel die relativistischen Effekte keinen relevanten Einfluss haben.

3 a) Zeigen Sie, dass für die Dauer, mit der ein Proton jeweils einmal vollständig durch einen Duanten läuft, die Gleichung $t_D = \frac{\pi \cdot m_p}{e \cdot B}$ gilt.

Lösung: Die Aufenthaltsdauer in einem Duanten für die Halbkreisbahn ist durch $$t_D = \frac{s}{v} = \frac{\pi \cdot r}{v}$$ gegeben. Durch Einsetzen des Radius $r = \frac{m_p \cdot v}{e \cdot B}$ folgt: $$t_D = \frac{\pi \cdot \frac{m_p \cdot v}{e \cdot B}}{v} = \frac{\pi \cdot m_p}{e \cdot B}$$

3 b) Erklären Sie die Verwendung einer konstanten Frequenz $f$ und begründen Sie $f = \frac{1}{2 \cdot t_D}$.

Lösung: Nach den genannten Voraussetzungen durchläuft das Proton das elektrische Feld immer nach gleichen Zeitintervallen. Eine geeignete Wechselspannung zwischen den Duanten muss also bei jedem Austritt des Protons aus einem der Duanten den gleichen Betrag mit wechselndem Vorzeichen haben. Dies bedeutet, dass die Frequenz dieser Wechselspannung konstant sein muss. Die Periodendauer $T$ der Wechselspannung $U$ muss der Umlaufdauer $2 \cdot t_D$ eines Protons entsprechen. Für die Frequenz gilt dann: $$f = \frac{1}{T} = \frac{1}{2 \cdot t_D}$$

3 c) Geben Sie die Gleichung für die dynamische Masse $m(v)$ an und begründen Sie, dass die Frequenz $f$ verringert werden muss.

Lösung: Für die dynamische Masse des Protons gilt: $$m(v) = \frac{m_p}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$$ Begründung für die Frequenzanpassung: Durch die Erhöhung der Geschwindigkeit $v$ im Spalt zwischen den Duanten wächst jeweils die dynamische Masse $m(v)$ und damit auch die Aufenthaltsdauer $t_D(v)$ in den Duanten, da diese sich proportional zur dynamischen Masse $m(v)$ verhält ($t_D \propto m(v)$). Die für die Umpolung der Duanten notwendige Frequenz $f(v)$ ist umgekehrt proportional zur Aufenthaltsdauer $t_D(v)$ ($f = \frac{1}{2\cdot t_D}$) und muss somit nach jedem Durchgang durch den Spalt verringert werden.

3 c) Berechnen Sie die prozentuale Abweichung der dynamischen Masse des Protons von seiner Ruhemasse bei einer Geschwindigkeit von $v = 0{,}6 \cdot c$.

Lösung: 25 / 25 %