Aufgabe 3: Myonen in der Speziellen Relativitätst… · Abitur NRW Physik GK · Nachtermin 2023

Aufgabe: Myonen in der Speziellen Relativitätstheorie

Die von Albert Einstein im Jahre 1905 begründete Spezielle Relativitätstheorie (SRT) resultiert in experimentellen Vorhersagen, die nicht nur den Vorhersagen der Newton’schen Mechanik, sondern auch der Alltagserfahrung vielfach widersprechen. Insbesondere bei der Untersuchung hochenergetischer Teilchen, wie etwa Myonen, lassen sich diese experimentellen Vorhersagen eindrucksvoll bestätigen.

Teilaufgabe 1: Zerfall atmosphärischer Myonen

Am Beispiel der atmosphärischen Myonen lassen sich die experimentellen Konsequenzen der SRT untersuchen. Dazu ist ein Verständnis von Zeitdilatation wie auch Längenkontraktion notwendig.

a)

Eine Rakete bewegt sich im Erdbezugssystem mit großer, konstanter Geschwindigkeit $v$ geradlinig vorwärts. Innerhalb der Rakete wird ein Wecker gestartet (Ereignis 1), der nach einer Weile zu klingeln beginnt (Ereignis 2). Auf einer Uhr innerhalb der Rakete soll zwischen beiden Ereignissen die Zeit $\Delta t$ vergehen. Dann vergeht auf einer erdgebundenen Uhr nicht die gleiche Zeit, sondern die Zeit $\Delta t'$, und es gilt $$\Delta t' = \gamma \cdot \Delta t$$ mit dem Dilatationsfaktor $$\gamma = \frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$$ Dabei ist $c = 299.792.458\text{ m/s}$ die Vakuumlichtgeschwindigkeit.

• Berechnen Sie die Zeit $\Delta t'$ im Erdbezugssystem, wenn auf der Raketenuhr zwischen dem Start und dem Klingeln des Weckers $\Delta t = 10\text{ s}$ vergehen und die Rakete sich mit $v = 0{,}80\,c$ bewegt.

• Berechnen Sie diejenige Geschwindigkeit $v$, bei der sich der Dilatationsfaktor $\gamma = 1{,}25$ ergibt.

• Weisen Sie nach, dass der Dilatationsfaktor für keine Geschwindigkeit $v$ einen Wert unter 1 annimmt.

• Beurteilen Sie, inwieweit sich aus der angegebenen Formel für den Dilatationsfaktor ableiten lässt, ob Geschwindigkeiten oberhalb der Vakuumlichtgeschwindigkeit physikalisch möglich sind.

b)

Im Raketenbezugssystem wird für die Rakete die Länge $\Delta x$ gemessen. Im Erdbezugssystem wird für die Rakete dagegen eine andere Länge $\Delta x'$ gemessen.

• Begründen Sie, weshalb sich die Bezeichnung „Ruhelänge“ für $\Delta x$ eignet, für $\Delta x'$ dagegen nicht.

Es gilt folgender Zusammenhang zwischen $\Delta x$ und $\Delta x'$: $$\Delta x' = \frac{\Delta x}{\gamma}$$

• Zeigen Sie mithilfe der Formel, dass die Ruhelänge nie kleiner ausfällt als die Länge, die in einem anderen Bezugssystem gemessen wird.

Die Ruhelänge einer Rakete ist $\Delta x = 100\text{ m}$ und ihre Geschwindigkeit im Erdbezugssystem $v = 0{,}60\,c$.

• Berechnen Sie, welche Länge die Rakete im Erdbezugssystem hat.

c)

C. D. Anderson, S. Neddermeyer sowie J. C. Street und E. C. Stevenson entdeckten in den Jahren 1936/1937 die sogenannten Myonen, den Elektronen verwandte Teilchen. Myonen sind nicht nur massereicher als Elektronen, sondern Myonen sind zudem instabil und besitzen daher eine endliche Halbwertszeit, nämlich $T_{1/2} = 1{,}523 \cdot 10^{-6}\text{ s}$.

• Erläutern Sie, was man unter der Halbwertszeit versteht.

Aufgrund ihrer Instabilität werden von einer anfänglichen Menge von beispielsweise $N_0 = 8 \cdot 10^6$ Myonen nach kurzer Zeit nur noch viel weniger Myonen vorhanden sein.

• Berechnen Sie, nach welcher Zeit nur noch etwa $N = 1 \cdot 10^6$ Myonen übrig sind, wobei alle Myonen als ruhend angenommen werden dürfen.

In den oberen Schichten der Erdatmosphäre entstehen aufgrund der kosmischen Strahlung ständig Myonen, die nach Durchqueren der Atmosphäre mittels Detektoren auf der Erdoberfläche registriert werden können (vgl. Abbildung 1). Diese sogenannten „atmosphärischen Myonen“ eignen sich in besonderer Weise, um die Phänomene der Zeitdilatation und der Längenkontraktion zu verdeutlichen.

Unter der Annahme, dass die zuvor erwähnten $N_0 = 8 \cdot 10^6$ Myonen eine Strecke von $\Delta s = 10\text{ km}$ überwinden müssen (vom Ort der Entstehung in den höheren Schichten der Atmosphäre bis zur Detektion auf der Erdoberfläche), wird die Zahl der am Ende dieses Flugs noch vorhandenen Teilchen von ihrer durchschnittlichen Geschwindigkeit während des Flugs abhängen.

• Berechnen Sie ohne Berücksichtigung relativistischer Effekte, wie viele Myonen den Detektor trotz ihrer Instabilität erreichen, wenn ihre mittlere Fluggeschwindigkeit $v = 0{,}995\,c$ beträgt.

• Geben Sie zusätzlich zur Instabilität der Myonen zwei weitere Gründe dafür an, dass real nicht alle in der oberen Atmosphäre entstandenen Myonen die Erdoberfläche erreichen.

Es erreichen allerdings mehr Myonen die Erdoberfläche, als aufgrund der Halbwertszeit der Myonen nach klassischer Rechnung zu erwarten wären.

• Erklären Sie diese Aussage qualitativ mithilfe der Zeitdilatation.

• Erklären Sie diese Aussage qualitativ mithilfe der Längenkontraktion.

Teilaufgabe 2: Energie-Masse-Äquivalenz

Eine der berühmtesten Formeln der Physikgeschichte ist die von Albert Einstein im Jahre 1905 publizierte Gleichung zur Ruheenergie: $$E = m c^2$$ Dabei ist $E$ die Ruheenergie eines Teilchens, $m$ seine Ruhemasse und $c$ die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum.

Eine vollständige Umwandlung von Masse in Energie würde beispielsweise stattfinden, wenn ein Myon mit seinem Antiteilchen, dem „Antimyon“, kollidieren würde. (Beide Teilchen besitzen die gleiche Ruhemasse $m = 1{,}884 \cdot 10^{-28}\text{ kg}$.)

• Berechnen Sie mithilfe der Ruhemassen der beteiligten Teilchen die Energie, die bei dieser Kollision frei wird.

Aufgrund der immensen Größe des Umrechnungsfaktors $c^2$ ist nur eine geringe Masse notwendig, um ein makroskopisch bedeutsames Energieäquivalent zu erhalten.

• Berechnen Sie, welche Masse umgewandelt werden müsste, damit ihr Energieäquivalent dem jährlichen „Gesamtstromverbrauch“ (d. h. dem gesamten Bedarf an elektrischer Energie) pro EU-Einwohner von etwa $6.200\text{ kWh}$ entspricht.

Besondere Bedeutung besitzt die Formel von Einstein für eine Analyse der Energieumwandlung im Rahmen der Kernspaltung und der Kernfusion.

• Begründen Sie, weshalb sich mit Einsteins Formel sowohl bei Kernspaltungs- als auch bei Kernfusionsreaktionen die umgesetzten Energiemengen bestimmen lassen.