Aufgabe 2 - Längen, Winkel und Abstände · Abitur NRW Mathematik LK · Teil B · Analytische Geometrie (CAS 2024

Abbildung 1 zeigt modellhaft eine Terrasse, die von zwei Hauswänden und einer Rasenfläche begrenzt wird. Ebenfalls dargestellt ist ein ausfahrbares Sonnendach, im Folgenden als Markise bezeichnet. Der horizontale Boden, zu dem die Terrasse und die Rasenfläche gehören, wird im abgebildeten Koordinatensystem durch die $x_1x_2$-Ebene dargestellt.

Die Terrasse wird durch das Fünfeck mit den Eckpunkten $A(0|0|0)$, $B(3|0|0)$, $C(3|3|0)$, $D(2|5|0)$ und $E(0|5|0)$ beschrieben. Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht dabei $1\text{ m}$ in der Realität.

Die Befestigung der Markise an der Hauswand 2 verläuft horizontal in einer Höhe von $2{,}3\text{ m}$ über dem Boden. Beim Ausfahren der Markise vergrößert sich der Abstand ihrer vorderen Kante zur Hauswand 2. Wenn die Markise vollständig ausgefahren ist, hat ihre vordere Kante einen Abstand von $2{,}4\text{ m}$ zur Hauswand 2 und befindet sich in einer Höhe von $1{,}9\text{ m}$ über dem Boden. Die Markise befindet sich im Modell stets in derselben Ebene $M$ und hat die Form eines Rechtecks. Der Punkt $P(0|5|2{,}3)$ stellt eine Ecke der Markise dar. Die Materialstärken aller Gegenstände bleiben unberücksichtigt.

Abbildung 2 zeigt schematisch die Oberseite der Markise mit ihren zwei gestrichelt dargestellten Gelenkarmen. Im Folgenden wird nur der rechte Gelenkarm betrachtet. Er besteht aus der oberen Stange, einem Gelenk und der unteren Stange, die im Modell durch die Strecke $\overline{PG_k}$, den Punkt $G_k$ bzw. die Strecke $\overline{G_k Q_k}$ dargestellt werden. Die obere und die untere Stange sind gleich lang.

Beim Ausfahren der Markise verändern sich die Positionen der Punkte $G_k$ und $Q_k$. Im Modell kann die jeweilige Position der oberen Stange durch eine Gerade der Schar$$o_k: \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 5 \\ 2{,}3 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 2{,}4k \\ -0{,}8 \\ -0{,}4k \end{pmatrix} \quad \text{mit } \lambda \in \mathbb{R} \text{ und } 0{,}04 \le k \le 1$$beschrieben werden. Je größer der Wert von $k$ ist, desto weiter ist die Markise ausgefahren, wobei für $k = 0{,}04$ die Markise vollständig eingefahren und für $k = 1$ vollständig ausgefahren ist.

a)

Bestimmen Sie die Gesamtlänge der an die Terrasse angrenzenden Rasenkanten sowie den Flächeninhalt der Terrasse.

e)

Die nachfolgende Rechnung liefert die Größen zweier Winkel. Geben Sie die Bedeutung von $\alpha$ und $\beta$ im Sachzusammenhang an.

$$\cos\alpha = \frac{\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2{,}4 \\ -0{,}8 \\ -0{,}4 \end{pmatrix}}{\left|\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\right| \cdot \left|\begin{pmatrix} 2{,}4 \\ -0{,}8 \\ -0{,}4 \end{pmatrix}\right|} \text{ liefert } \alpha \approx 71{,}8^\circ \text{ und damit } \beta = 2 \cdot \alpha \approx 143{,}6^\circ.$$

f)

Sowohl die obere als auch die untere Stange des Gelenkarms sind $1{,}28\text{ m}$ lang. Mit $g$ wird diejenige Gerade bezeichnet, die im Modell die Lage der unteren Stange für $k = 0{,}5$ beschreibt. Bestimmen Sie die Koordinaten von $G_{0{,}5}$ und geben Sie einen Richtungsvektor von $g$ an.