Aufgabe 1 - Längen, Winkel und Abstände im Raum · Abitur NRW Mathematik GK · Teil B · Analytische Geometrie (CAS 2019

Ein Logistikunternehmen testet auf einer Strecke zwischen Festland und einer Insel die Paketzustellung mithilfe eines Flugkörpers, einer sogenannten Drohne. In einem kartesischen Koordinatensystem wird das horizontale Gelände, über dem sich die Drohne bewegt, modellhaft durch die $x_1x_2$-Ebene dargestellt, die Lage des Startplatzes durch den Punkt $S(7320 \mid -1750 \mid 0)$ und die Lage des regulären Landeplatzes durch den Punkt $L(-990 \mid 6990 \mid 0)$. Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht einem Meter in der Realität.

Die Drohne soll über dem Startplatz zunächst vertikal aufsteigen, bis sie eine Höhe von $50\text{ m}$ erreicht hat, und anschließend geradlinig in konstanter Höhe und mit konstanter Geschwindigkeit in die Richtung des Landeplatzes fliegen.

Die Drohne soll ihren Weg zum Landeplatz selbstständig zurücklegen können. Während der Testphase wird ihr Flug jedoch von einer Bodenstation aus überwacht und die Flugbahn bei Bedarf korrigiert. Die Position der Bodenstation wird durch den Punkt $B(0 \mid 0 \mid 0)$ dargestellt, ihre Reichweite beträgt $6000\text{ m}$.

Einer Korrektur der Bodenstation folgend weicht die Drohne im Modell im Punkt $Q(3996 \mid 1746 \mid 50)$ von der vorgesehenen Flugbahn ab und bewegt sich mit einer Geschwindigkeit von $5\text{ }\frac{\text{m}}{\text{s}}$ geradlinig auf einen Ausweichlandeplatz zu, der durch den Punkt $A(4050 \mid 1810 \mid 0)$ dargestellt wird.

c

Bestimmen Sie die Geschwindigkeit der Drohne während des horizontalen Flugs.

d

Untersuchen Sie, ob sich die Drohne in der durch den Punkt $P$ dargestellten Position innerhalb oder außerhalb der Reichweite der Bodenstation befindet.

e

Bewegt sich die Drohne auf der vorgesehenen Flugbahn, so befindet sie sich von einem bestimmten Zeitpunkt an innerhalb der Reichweite der Bodenstation. Ermitteln Sie die Position, in der sich die Drohne zu diesem Zeitpunkt befindet.

f

In einer Position auf der vorgesehenen Flugbahn hat die Drohne die geringste Entfernung zur Bodenstation; diese Position wird durch den Punkt $R$ beschrieben. Beschreiben Sie ein Verfahren, mit dem unter Verwendung der Abbildung die Koordinaten von $R$ ermittelt werden könnten.

g

Bestimmen Sie die Größe des Neigungswinkels der Flugbahn gegenüber dem Gelände beim Anflug auf den Ausweichlandeplatz.

h

Berechnen Sie, um wie viele Meter sich die Flughöhe pro Sekunde verringert.