Aufgabe 2 - Differentialrechnung · Abitur NRW Mathematik LK · Teil B · Analysis (WTR) 2021

Gegeben ist die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f: x \mapsto \mathrm{e}^x$.

Gegeben sind außerdem die in $\mathbb{R} \setminus \{0\}$ definierte Funktion $g: x \mapsto \frac{1}{x}$ sowie die Funktion $h: x \mapsto \frac{1}{x-2} + 4$, deren Definitionsmenge so groß wie möglich gewählt wurde.

Graph von $h$ sowie Gerade $w$ mit der Gleichung $y = x$

Die Umkehrfunktion von $h$ wird mit $k$ bezeichnet.

Betrachtet werden nun die in $\mathbb{R} \setminus \{0\}$ definierte Funktion $u: x \mapsto f(g(x))$ sowie die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $v: x \mapsto g(f(x))$. Für die erste Ableitungsfunktion $u'$ von $u$ gilt $u'(x) = -\frac{1}{x^2} \cdot \mathrm{e}^{\frac{1}{x}}$.

a)

Bestimmen Sie rechnerisch eine Gleichung der Tangente an den Graphen von $f$ in dessen Schnittpunkt mit der y-Achse. Geben Sie eine Gleichung der Gerade an, die in diesem Punkt senkrecht zur Tangente steht, sowie den Inhalt der Fläche, die von dieser Gerade, der Tangente und der x-Achse eingeschlossen wird.

b)

Geben Sie alle Werte von $m \in \mathbb{R}$ an, für die die Gerade mit der Gleichung $y = m \cdot x + 1$ mit dem Graphen von $f$ genau einen Punkt gemeinsam hat.

j)

Zeigen Sie, dass $u$ genau eine Wendestelle hat, und bestimmen Sie diese Wendestelle.