Aufgabe 1 - Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und… · Abitur NRW Mathematik LK · Teil B · Analysis (CAS) 2021

1 Gegeben sind die in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $f_a: x \mapsto -\frac{a}{250}x^4 + \frac{1}{25}x^3$ mit $a \in \mathbb{R}^+$ sowie $g_a: x \mapsto f_a(x) - \frac{3}{5}x$. Die Abbildung 1 zeigt den Graphen von $g_1$.

a

Berechnen Sie für den Graphen von $f_1$ die Koordinaten der Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen sowie die Koordinaten des Extrempunkts. Zeichnen Sie den Graphen von $f_1$ in die Abbildung 1 ein.

c

Für jeden Wert von $a$ gilt:

I Die Funktionsterme von $f_a$ und $g_a$ unterscheiden sich nur um den Summanden $-\frac{3}{5}x$.

II Der Graph von $f_a$ hat genau zwei Wendepunkte, deren x-Koordinaten $0$ und $\frac{5}{a}$ sind.

Geben Sie an, was sich aus I und II hinsichtlich der Anzahl und der Lage der Wendepunkte des Graphen von $g_a$ im Vergleich zu den Wendepunkten des Graphen von $f_a$ folgern lässt. Begründen Sie Ihre Angabe ausgehend von I und II.

Die Tangente $t_f$ an den Graphen von $f_a$ im Punkt $\left(\frac{5}{a}\mid f_a\left(\frac{5}{a}\right)\right)$ hat die Steigung $\frac{1}{a^2}$, die Tangente $t_g$ an den Graphen von $g_a$ im Punkt $\left(\frac{5}{a}\mid g_a\left(\frac{5}{a}\right)\right)$ die Steigung $\frac{5-3a^2}{5a^2}$. Der Schnittpunkt dieser beiden Tangenten wird mit $S$ bezeichnet.

d

Weisen Sie nach, dass $S$ für jeden Wert von $a$ auf der y-Achse liegt.

e

Die Gerade mit der Gleichung $x = \frac{5}{a}$ schneidet $t_f$ im Punkt $F$ und $t_g$ im Punkt $G$. Untersuchen Sie, für welche Werte von $a \in \mathbb{R}^+$ das Dreieck $SGF$ rechtwinklig ist.