Aufgabe 1 (1 - Differentialrechnung) · Abitur NRW Mathematik LK · Teil B · Analysis (WTR) 2021

Die Abbildung 1 zeigt modellhaft den Längsschnitt einer dreiteiligen Brücke aus Holz für eine Spielzeugeisenbahn. Die Züge können sowohl über die Brücke fahren als auch darunter hindurch.

Die obere Randlinie des Längsschnitts der Brücke kann mithilfe des Graphen der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $f \colon x \mapsto \frac{1}{20}x^4 - \frac{2}{5}x^2 + 1$ beschrieben werden. Dabei werden die Endpunkte dieser Randlinie durch die beiden Tiefpunkte des Graphen von $f$ dargestellt. Im verwendeten Koordinatensystem beschreibt die x-Achse die Horizontale; eine Längeneinheit entspricht einem Dezimeter in der Realität.

Der parabelförmige Teil der unteren Randlinie des Längsschnitts der Brücke kann mithilfe des Graphen einer in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $q \colon x \mapsto 0{,}8 - a \cdot x^2$ mit $a \in \mathbb{R}^+$ beschrieben werden.

b)

Bestimmen Sie rechnerisch die Höhe und die Länge der Brücke.

(zur Kontrolle: Ein Tiefpunkt des Graphen von f hat die x-Koordinate 2.)

d)

Geben Sie die Bedeutung des Terms $\frac{f(2)-f(1)}{2-1}$ im Sachzusammenhang an und berechnen Sie seinen Wert.

e)

Berechnen Sie die Größe des größten Steigungswinkels der Brücke, der beim Überfahren zu überwinden ist.