Abitur Hessen Physik 2022 · LK

Bewegte Ladungen in Feldern

Die Einheit Ampere wurde bis zum Jahr 2019 über die Kraft zwischen zwei stromdurchflossenen Leitern definiert. In Material 1 wird diese Definition angegeben und die prinzipielle experimentelle Anordnung für diese Definition veranschaulicht.

1.1

Skizzieren Sie den Verlauf der magnetischen Feldlinien des linken stromdurchflossenen Leiters in Material 1. [2 BE]

Untersuchen Sie, ob sich die stromdurchflossenen Leiter gegenseitig anziehen oder abstoßen. [4 BE]

1.2

Das Magnetfeld eines geraden Leiters, der von einem elektrischen Strom der Stärke $I$ durchflossen wird, besitzt im Abstand $r$ die magnetische Flussdichte $B = \frac{\mu_0 \cdot I}{2\pi \cdot r}$.

Bestätigen Sie durch eine Rechnung, die die Einheiten einbezieht, dass die in Material 1 angegebene Kraft unter den dort angegebenen Rahmenbedingungen tatsächlich den Betrag $2 \cdot 10^{-7}\ \mathrm{N}$ besitzt. [4 BE]

Bewegte Ladungen in Feldern

Die Einheit Ampere wurde bis zum Jahr 2019 über die Kraft zwischen zwei stromdurchflossenen Leitern definiert. In Material 1 wird diese Definition angegeben und die prinzipielle experimentelle Anordnung für diese Definition veranschaulicht.

Aufgabe 2

Seit dem Jahr 2019 basiert die Definition der Einheit Ampere auf der Elementarladung $e$. Diese lässt sich bei bekannter Elektronenmasse $m_e$ aus der spezifischen Ladung $e/m_e$ eines Elektrons berechnen. Im Folgenden soll diese experimentell bestimmt werden. Der prinzipielle Aufbau dazu ist in Material 2 dargestellt. Mit einem Helmholtzspulenpaar wird ein homogenes Magnetfeld der Flussdichte $B$ in einem Fadenstrahlrohr erzeugt. Die Elektronen werden mit der Spannung $U_B$ beschleunigt, anschließend senkrecht zu den Feldlinien in das homogene Magnetfeld eingeschossen und so auf eine Kreisbahn mit dem Radius $r$ gelenkt.

2.1

Geben Sie an, welche Richtung das homogene Magnetfeld besitzen muss, damit die Elektronen die kreisförmige Bahn in der schematischen Darstellung von Material 3 durchlaufen.

Zeichnen Sie in Material 3 an beliebiger Stelle der Bahn ein Elektron, den Geschwindigkeitsvektor dieses Elektrons und die Richtung der Lorentzkraft auf dieses Elektron ein.

Begründen Sie, dass die Flugbahn der Elektronen eine Kreisbahn ist.

2.2

Berechnen Sie die Geschwindigkeit der Elektronen nach Durchlaufen der Beschleunigungsspannung $U_B = 200\text{ V}$.

2.3

Leiten Sie die Beziehung $\frac{e}{m_e} = \frac{2\cdot U_B}{B^2\cdot r^2}$ für die spezifische Ladung eines Elektrons her.

2.4

In einer Messreihe wurden die in Material 4 tabellarisch dargestellten Werte gemessen und daraus jeweils die spezifische Ladung eines Elektrons bestimmt.

Messung

$U_B$ in V

$B$ in mT

$r$ in cm

$\frac{e}{m_e}$ in $10^{11}\,\frac{\text{C}}{\text{kg}}$

1 · 150 · 1,00 · 4,1 · 1,78

2 · 200 · 1,00 · 4,8 · 1,74

3 · 250 · 1,00 · 5,3 · 1,78

4 · 250 · 1,25 · 4,3 · 1,73

5 · 250 · 1,75 · 3,0

Bestimmen Sie den fehlenden Wert für Messung 5 und anschließend mithilfe aller 5 Messungen einen Wert für die spezifische Ladung eines Elektrons.

$\cdot 10^{11}\,\frac{\text{C}}{\text{kg}}$

Berechnen Sie die prozentuale Abweichung dieses Wertes vom Literaturwert.

%

2.5

Die Beschleunigungsspannung $U_B$ ist konstant.

Untersuchen Sie mithilfe der in Aufgabe 2.3 angegebenen Formel die funktionale Abhängigkeit des Kreisbahnradius $r$ von der magnetischen Flussdichte $B$.

Bestätigen Sie diese Abhängigkeit anhand von drei geeigneten Messungen in Material 4.

2.6

Bestätigen Sie, dass bei konstantem Magnetfeld die Zeit, die ein Elektron für das Durchlaufen einer Kreisbahn benötigt, unabhängig vom Radius der Kreisbahn und unabhängig von der Geschwindigkeit des Elektrons ist.

Berechnen Sie die Zeit für einen Umlauf bei der magnetischen Flussdichte $B = 1\text{ mT}$ und bestätigen Sie die Einheit des Ergebnisses mit einer Einheitenrechnung.

Bewegte Ladungen in Feldern

Die Einheit Ampere wurde bis zum Jahr 2019 über die Kraft zwischen zwei stromdurchflossenen Leitern definiert. In Material 1 wird diese Definition angegeben und die prinzipielle experimentelle Anordnung für diese Definition veranschaulicht.

3 Ein Zyklotron ist ein Teilchenbeschleuniger, der in der Medizin und in der physikalischen Forschung eingesetzt wird. In dem in Material 5 abgebildeten Zyklotron verlassen die Protonen die Quelle mit vernachlässigbarer Geschwindigkeit und durchlaufen mehrfach die Beschleunigungsspannung $U_\mathrm{B}$, die zwischen zwei hohlen, halbkreisförmigen Elektroden anliegt. Die Protonen werden so mehrfach in dem homogenen elektrischen Feld im Spalt zwischen den beiden Elektroden beschleunigt. Um dies zu ermöglichen, werden die Protonen mithilfe eines homogenen Magnetfelds auf halbkreisförmige Bahnen abgelenkt. Die Zeit zum Durchlaufen der Beschleunigungsspannung kann im Vergleich zu der Zeit zum Durchlaufen der halbkreisförmigen Bahn jeweils vernachlässigt werden. Die Beschleunigungsspannung $U_\mathrm{B}$ wird mit einer bestimmten, festen Frequenz umgepolt. Die ganze Anordnung befindet sich in einer Vakuumkammer.

Material 5: Schematische Darstellung eines Zyklotrons

3.1

Erklären Sie mithilfe von Aufgabe 2.6, dass die Beschleunigungsspannung $U_\mathrm{B}$ mit einer bestimmten, festen Frequenz umgepolt werden muss. [3 BE]

3.2

Die Protonen werden in dem Zyklotron mit der magnetischen Flussdichte $B = 0{,}6\,\mathrm{T}$ auf eine Endgeschwindigkeit von $v = 0{,}1\cdot c$ beschleunigt, mit der sie das Zyklotron verlassen.

Berechnen Sie den Radius der Kreisbahn nach der letzten Beschleunigung und die maximale Energie der Protonen in der Einheit $\mathrm{MeV}$. [4 BE]

3.3

Untersuchen Sie, ob die in Material 5 dargestellte gleichmäßige Vergrößerung der Bahnradien der halbkreisförmigen Protonenbahnen der Realität entspricht. [4 BE]

Hall-Effekt und Induktion am Beispiel der Stromzange

Mit einer Stromzange (Material 1) kann die Stromstärke in einem Leiter kontaktlos gemessen werden, ohne den Stromkreis zu unterbrechen. Dies geschieht über die Messung des um den Leiter erzeugten Magnetfelds. In der Stromzange befindet sich ein Metallring mit dem Radius $r_{\text{Ring}} = 2\text{ cm}$ und der Permeabilitätszahl $\mu_{\text{r}} = 2000$, der konzentrisch um den Leiter geschlossen wird. Um ein Teilstück des Metallrings ist eine Spule gewickelt. Zusätzlich ist im Metallring eine Hall-Sonde eingelassen. In den folgenden Aufgaben soll die Funktionsweise genauer untersucht werden. Von möglichen Einflüssen der übrigen Teile der Stromzange ist dabei abzusehen.

Material 1

a) Aufbauskizze einer Stromzange um einen stromdurchflossenen Leiter

b) Stromzange während des Messvorgangs

URL: https://www.benning.de/produkte/pruef-und-messtechnik/digital-stromzangen/pr%C3%A4zisions-stromzange-cm-11.html (abgerufen am 29.03.2021).

1 Der Leiter ist sehr lang und wird zunächst von einem Gleichstrom durchflossen.

1.1

Skizzieren Sie in Material 2 die Magnetfeldlinien um den Leiter.

[2 BE]

Material 2: Querschnitt eines stromdurchflossenen Leiters

1.2

Die magnetische Flussdichte im Abstand $r$ zum Leiter ist durch die Formel $B = \mu_r \cdot \mu_0 \cdot \frac{I_L}{2\pi \cdot r}$ gegeben. Berechnen Sie die magnetische Flussdichte $B$ im Metallring der Stromzange, wenn der Leiter von einem Strom der Stärke $I_L = 2\text{ A}$ durchflossen wird.

[3 BE]

1.3

Die magnetische Flussdichte $B$ des durch den Leiter erzeugten Magnetfelds wird in der Stromzange durch eine Hall-Sonde (Material 3) bestimmt. Die Hall-Sonde beruht auf dem Hall-Effekt, bei welchem durch das Magnetfeld eine Hall-Spannung $U_H$ erzeugt wird.

Material 3: Hall-Sonde

Erklären Sie qualitativ das Zustandekommen der Hall-Spannung $U_H$.

[4 BE]

Zeichnen Sie die Polung der Spannung am Voltmeter in Material 3 ein.

[1 BE]

1.4

Die in der Stromzange verwendete Hall-Sonde aus Wismut hat eine Dicke von $d = 0{,}1\text{ mm}$ und eine Hall-Konstante von $R_H = 5{,}0 \cdot 10^{-7}\text{ m}^3/\text{C}$. Durch die Hall-Sonde fließt der Betriebsstrom $I_H = 100\text{ mA}$.

1.4.1 Die Hall-Spannung wird mit der Formel $U_H = R_H \cdot \frac{I_H \cdot B}{d}$ berechnet.

Zeigen Sie mithilfe dieser Formel, dass die gemessene Hall-Spannung $U_H$ proportional zur Stromstärke $I_L$ im Leiter ist, und berechnen Sie die Proportionalitätskonstante $k$. [zur Kontrolle: $k = 1\cdot 10^{-5}\text{ V/A}$]

[6 BE]

1.4.2 An der Hall-Sonde können Hall-Spannungen von $U_H \ge 1 \cdot 10^{-7}\text{ V}$ gemessen werden.

Bestimmen Sie die minimale Stromstärke $I_L$, die mit dieser Stromzange gemessen werden kann.

[2 BE]

Entscheiden Sie, ob die Stromzange eine Stromstärke anzeigt, wenn die Hall-Sonde ausschließlich von dem Erdmagnetfeld mit der Flussdichte $B = 48\ \mu\text{T}$ durchsetzt wird.

[3 BE]

1.5

Untersuchen Sie jeweils qualitativ die Auswirkungen der in Material 4 dargestellten veränderten Durchführungen des Leiters durch die Stromzange auf den Anzeigewert der Stromzange:

[4 BE]

Material 4: Durchführung eines Leiters durch den Metallring der Stromzange

Hall-Effekt und Induktion am Beispiel der Stromzange

Mit einer Stromzange (Material 1) kann die Stromstärke in einem Leiter kontaktlos gemessen werden, ohne den Stromkreis zu unterbrechen. Dies geschieht über die Messung des um den Leiter erzeugten Magnetfelds. In der Stromzange befindet sich ein Metallring mit dem Radius $r_{\text{Ring}} = 2\text{ cm}$ und der Permeabilitätszahl $\mu_{\text{r}} = 2000$, der konzentrisch um den Leiter geschlossen wird. Um ein Teilstück des Metallrings ist eine Spule gewickelt. Zusätzlich ist im Metallring eine Hall-Sonde eingelassen. In den folgenden Aufgaben soll die Funktionsweise genauer untersucht werden. Von möglichen Einflüssen der übrigen Teile der Stromzange ist dabei abzusehen.

Material 1

a) Aufbauskizze einer Stromzange um einen stromdurchflossenen Leiter

b) Stromzange während des Messvorgangs

URL: https://www.benning.de/produkte/pruef-und-messtechnik/digital-stromzangen/pr%C3%A4zisions-stromzange-cm-11.html (abgerufen am 29.03.2021).

2 Wechselstrommessung mit einer Spule

Um mit der Stromzange Wechselströme messen zu können, ist um den Metallring eine Spule gewickelt (Material 5). Sie hat einen Radius von $r_{\text{Spule}} = 0{,}5\text{ cm}$ und $N = 50$ Windungen. Die an dieser Spule gemessene Spannung ist ein Maß für die Stromstärke $I_L$ im Leiter.

2.1

Erklären Sie, wie die Spannung an den Spulenenden in Material 5 entsteht, wenn der Leiter von einem Wechselstrom durchflossen wird. [4 BE]

2.2

Mit der Stromzange wird nun ein sinusförmiger Wechselstrom gemessen. Die zeitliche Funktion der Stromstärke durch den Leiter ist durch die Formel $I_L(t) = I_{\max} \cdot \sin(2\pi \cdot f \cdot t)$ gegeben. Dabei ist $f = 50\text{ Hz}$ die Frequenz des Wechselstroms und $I_{\max} = 10\text{ A}$ die Amplitude.

Es soll angenommen werden, dass das Magnetfeld im Metallring den Querschnitt der Spule senkrecht durchsetzt und in diesem Bereich homogen ist.

Leiten Sie für die induzierte Spannung in der Spule die folgende Formel her:$$U_{\text{ind}}(t) = -\frac{\mu_0 \cdot \mu_r \cdot N \cdot \pi \cdot {r_{\text{Spule}}}^2 \cdot f}{r_{\text{Ring}}} \cdot I_{\max} \cdot \cos(2\pi \cdot f \cdot t)$$Berechnen Sie die maximal in der Spule induzierte Spannung. [10 BE]

2.3

Beurteilen Sie für die beiden Messmethoden Hall-Sonde und Spule, ob Stromzangen mit nur einer dieser Messmethoden sowohl Gleich- als auch Wechselströme messen können. [3 BE]

Hall-Effekt und Induktion am Beispiel der Stromzange

Mit einer Stromzange (Material 1) kann die Stromstärke in einem Leiter kontaktlos gemessen werden, ohne den Stromkreis zu unterbrechen. Dies geschieht über die Messung des um den Leiter erzeugten Magnetfelds. In der Stromzange befindet sich ein Metallring mit dem Radius $r_{\text{Ring}} = 2\text{ cm}$ und der Permeabilitätszahl $\mu_{\text{r}} = 2000$, der konzentrisch um den Leiter geschlossen wird. Um ein Teilstück des Metallrings ist eine Spule gewickelt. Zusätzlich ist im Metallring eine Hall-Sonde eingelassen. In den folgenden Aufgaben soll die Funktionsweise genauer untersucht werden. Von möglichen Einflüssen der übrigen Teile der Stromzange ist dabei abzusehen.

Material 1

a) Aufbauskizze einer Stromzange um einen stromdurchflossenen Leiter

b) Stromzange während des Messvorgangs

URL: https://www.benning.de/produkte/pruef-und-messtechnik/digital-stromzangen/pr%C3%A4zisions-stromzange-cm-11.html (abgerufen am 29.03.2021).

Ein Gurterkennungssystem prüft in einem Fahrzeug, ob ein Sicherheitsgurt geöffnet oder geschlossen ist. In Material 6a ist ein System skizziert, welches mit einer Hall-Sonde arbeitet. In Material 6b ist ein System skizziert, welches mit einer Spule arbeitet.

Ein Gurterkennungssystem soll die beiden folgenden Bedingungen erfüllen:

Das System muss zwischen Öffnen und Schließen des Gurtes unterscheiden können.

Das System muss zu jedem Zeitpunkt in der Lage sein, den aktuellen Zustand des Gurtes (geschlossen oder offen) zu erkennen.

Material 6

a) Gurterkennungssystem mit Hall-Sonde

b) Gurterkennungssystem mit Spule

Hinweis: Die Aufbauskizzen stellen nicht alle benötigten Bauteile und elektrischen Verbindungen dar, die für die tatsächliche Erkennung des Gurtes notwendig sind.

Erläutern Sie, wie das Öffnen und das Schließen des Gurtes in den Systemen aus Material 6a und 6b jeweils erkannt werden kann.

Untersuchen Sie, ob beide Systeme jeweils die beiden oben angegebenen Bedingungen erfüllen.

Materialprüfungsverfahren mittels Pendelschwingungen

Materialprüfungsverfahren sind in der Industrie nötig, um bestimmte Zertifizierungen zu erhalten. Ein Verfahren zur Prüfung von Oberflächen basiert auf einem Pendel.

1 Im Folgenden soll zunächst ein Fadenpendel der Länge $l$ mit einer punktförmigen Masse $m = 200\text{ g}$ und der Schwingungsdauer $T = 1{,}40\text{ s}$ untersucht werden (Material 1). Es gilt die Kleinwinkelnäherung, sodass von einer harmonischen Schwingung ausgegangen werden kann. Das Pendel wird aus der Ruhelage ausgelenkt und zum Zeitpunkt $t = 0\text{ s}$ losgelassen. Die Schwingung wird als ungedämpft betrachtet.

Material 1: Schematische Darstellung eines Fadenpendels

1.1

Zeichnen Sie in Material 1 an der mit A gekennzeichneten Stelle die Kraftpfeile der wirkenden Kräfte im richtigen Größenverhältnis ein und beschriften Sie diese mit den Bezeichnungen Rückstellkraft $\vec{F}_\text{R}$, Gewichtskraft $\vec{F}_\text{G}$ und Fadenkraft $\vec{F}_\text{l}$. [4 BE]

1.2

Zeigen Sie, dass bei der Auslenkung des Pendels um die Strecke $s$ für die Rückstellkraft gilt: $$F_\text{R} = -D\cdot s \quad \text{mit der Richtgröße } D = \frac{m\cdot g}{l}$$ [5 BE]

1.3

Leiten Sie ausgehend von der Formel $F_\text{R} = -D\cdot s$ aus Aufgabe 1.2 eine Differenzialgleichung für eine ungedämpfte harmonische Schwingung her.

Leiten Sie daraus mit einem geeigneten Lösungsansatz das Zeit-Beschleunigung-Gesetz und damit eine Formel zur Berechnung der Schwingungsdauer $T$ eines ungedämpften Fadenpendels her. [6 BE]

1.4

Berechnen Sie die Länge des Pendels und die Amplitude der Schwingung für einen Auslenkungswinkel von $\alpha = 6^\circ$. [zur Kontrolle: $l = 0{,}487\text{ m}$] [5 BE]

1.5

Erläutern Sie, insbesondere unter Betrachtung der Zeitpunkte $t = 0\text{ s}$, $t = \frac{1}{4}T$ und $t = \frac{1}{2}T$, die Energieformen und ihre Umwandlung im Laufe einer halben Schwingung. [4 BE]

1.6

Berechnen Sie die maximale kinetische Energie und die maximale Geschwindigkeit des Pendels unter Verwendung der Werte aus Aufgabe 1.4.

Begründen Sie anhand einer Formel, dass die maximale Geschwindigkeit des Pendels nicht von seiner Masse abhängt. [7 BE]

1.7

Erklären Sie qualitativ, wie sich die Schwingungsdauer ändert, wenn das Pendel auf dem Mond schwingen würde.

Beschreiben Sie, wie man den Ortsfaktor des Mondes mithilfe des Pendels bestimmen könnte.

Erklären Sie, wie man ohne die Verwendung besserer Messgeräte die Genauigkeit der Messung erhöhen könnte. [4 BE]

2 Mit einem speziellen Verfahren wird die Oberfläche eines Materials geprüft. Hierbei wird ein genormtes Pendel mit zwei Auflagekugeln aus Edelstahl auf der Probe, deren Oberfläche geprüft werden soll, positioniert (Material 2). Das Pendel wird um einen Winkel $\alpha_{\text{max},0}$ ausgelenkt und zum Zeitpunkt $t = 0\,\text{s}$ losgelassen. Die Messung ist mit Abschluss derjenigen vollständigen Schwingung beendet, in der der maximale Auslenkungswinkel erstmals einen Wert $\alpha_{\text{max},\text{Ende}}$ unterschreitet. Die Anzahl der vollständigen Pendelschwingungen bis zu diesem Zeitpunkt wird Pendelhärte der Oberfläche genannt (Information zum Begriff der Pendelhärte siehe Material 3). Dabei beträgt die für die Messung relevante Pendellänge $l = 0{,}490\,\text{m}$ und die Periodendauer wiederum $T = 1{,}40\,\text{s}$. Die Messung beginnt mit einem Auslenkungswinkel von $\alpha_{\text{max},0} = 6^\circ$ und endet nach Unterschreiten des Winkels $\alpha_{\text{max},\text{Ende}} = 3^\circ$. Die Variable $y(t)$ beschreibt die zeitabhängige horizontale Auslenkung des Pendels. Die Messwerttabelle in Material 4 zeigt die Abhängigkeit der Amplitude $y_\text{max}$ von der Zeit während dieser Messung.

Material 2: Aufbau eines Oberflächenhärtemessgeräts

Artur Goldschmidt, Hans-Joachim Streitberger: BASF-Handbuch Lackiertechnik, Hannover 2014, S. 415, bearbeitet.

Material 3: Information zum Begriff der Pendelhärte

Das hier betrachtete Messverfahren wird üblicherweise zur Beurteilung des plastisch-elastischen Verhaltens von Beschichtungen, also z. B. von Lacken, Farben oder Grundierungen verwendet. Alle Beschichtungen zeigen ein elastisches Materialverhalten und sind somit nicht „hart“, wie man das im ersten Moment denken könnte. Der Begriff der Härte ist auf diesem Gebiet nach DIN 55945 definiert als „der Widerstand einer Beschichtung gegen eine mechanische Einwirkung wie z. B. Druck, Reiben oder Ritzen“. Dazu werden verschiedene Testverfahren genutzt, eines davon basiert auf dem in Material 2 gezeigten Aufbau.

Material 4: Messwerttabelle

$n$

$0$

$20$

$40$

$60$

$80$

$100$

$y_{\text{max},n}$ in $\text{m}$

$0{,}051$

$0{,}044$

$0{,}038$

$0{,}033$

$0{,}028$

$0{,}024$

$n$: Anzahl der Schwingungen; $y_{\text{max},n}$: Amplitude der $n$-ten Schwingung

2.1

Erklären Sie unter Beachtung des in Material 2 gezeigten Aufbaus, wie es zu der in Material 4 dargestellten Abnahme der Amplitude mit der Zeit kommt. [2 BE]

2.2

Bei einer gedämpften harmonischen Schwingung gilt für den zeitlichen Verlauf der horizontalen Auslenkung die Formel $y(t) = y_{\text{max},0} \cdot \mathrm{e}^{-k\cdot t} \cdot \cos(\omega\cdot t)$.

Begründen Sie, dass für $t = n\cdot T$ die Formel

$$k = \frac{-\ln\left(\frac{y_{\text{max},n}}{y_{\text{max},0}}\right)}{n\cdot T}$$

gilt. [2 BE]

Zeigen Sie mithilfe dieser Formel und unter Verwendung aller Messwerte, dass die mittlere Dämpfungskonstante (auch Abklingfaktor genannt) $\overline{k} \approx 5{,}29 \cdot 10^{-3}\,\frac{1}{\text{s}}$ beträgt. [4 BE]

2.3

Berechnen Sie unter Verwendung des Startwerts für $n = 0$ in Material 4 die Zeit bis zum Ende der Messung sowie die Pendelhärte der Probe. [5 BE]

2.4

Für zwei Proben wird die Pendelhärte nach obigem Verfahren bestimmt, dabei werden die Messungen nicht im Vakuum durchgeführt, jedoch unter sonst streng vergleichbaren Bedingungen. Das Pendel ist in einer abgeschirmten Box untergebracht, sodass störender Luftzug verhindert wird. Erörtern Sie, wie die unvermeidliche Luftreibung die Vergleichbarkeit der Versuchsergebnisse beeinflusst und ob diese Messmethode unter diesen Umständen überhaupt geeignet ist, verschiedene Proben miteinander zu vergleichen. [2 BE]

Elektromagnetischer Schwingkreis und elektromagnetische Wellen

Im Folgenden werden elektromagnetische Schwingungen betrachtet, die von einem elektromagnetischen Schwingkreis erzeugt werden. Der Kondensator des Schwingkreises kann mithilfe eines Umschalters durch eine Gleichspannungsquelle aufgeladen werden. In der Schalterstellung A wird der Kondensator geladen und in der Schalterstellung B beginnt die elektromagnetische Schwingung mit dem vollständig geladenen Kondensator. Zunächst werden die Ohm’schen Widerstände vernachlässigt, d. h. es wird ein ungedämpfter elektromagnetischer Schwingkreis betrachtet.

1.1

Skizzieren Sie eine Schaltung mit Kondensator, Spule, Gleichspannungsquelle und Schalter, die den obigen Vorgaben entspricht und Messgeräte zur Messung der Spannung am Kondensator und der Stromstärke durch die Spule enthält. Beschriften Sie die beiden Schalterstellungen.

[2 BE]

1.2 Ein Schwingkreis besteht aus einem Kondensator der Kapazität $C = 20\ \mu\text{F}$ und einer Spule mit der Induktivität $L = 4{,}5\ \text{mH}$. Die Schwingung startet zum Zeitpunkt $t = 0\ \text{s}$ mit einer maximalen Spannung von $U_{\max} = 1{,}5\ \text{V}$ am Kondensator.

1.2.1

Zeigen Sie, dass die Frequenz des Schwingkreises $f = 530{,}5\ \text{Hz}$ beträgt. Berechnen Sie die Schwingungsdauer $T$ und begründen Sie, dass der zeitliche Verlauf der Spannung am Kondensator durch $U(t) = 1{,}5\ \text{V} \cdot \cos\left(3333\frac{1}{\text{s}}\cdot t\right)$ ausgedrückt werden kann.

[6 BE]

1.2.2

Berechnen Sie die maximale elektrische Energie, die im Kondensator vorliegt. Erläutern Sie, wie sich daraus die maximale Stromstärke $I_{\max}$ in der Spule des Schwingkreises bestimmen lässt. Leiten Sie den Zusammenhang $I_{\max} = \frac{U_{\max}}{\omega \cdot L}$ her. Berechnen Sie die Stromstärke $I_{\max}$.

[9 BE]

1.3

Erläutern Sie allgemein die Vorgänge im Schwingkreis, die dazu führen, dass nach dem Entladen des Kondensators der Strom weiter fließt und der Kondensator in die entgegengesetzte Richtung aufgeladen wird. Vergleichen Sie diese Phase der Schwingung mit der entsprechenden Phase bei der Schwingung einer Masse, die an einer Feder hängt, und geben Sie mithilfe der Formeln für die Schwingungsdauer die mechanischen Größen, die den Größen $L$ und $C$ entsprechen, an.

[7 BE]

1.4

Geben Sie Terme für den Spannungsabfall über dem Kondensator und für den Spannungsabfall über der Spule an und leiten Sie daraus die Differenzialgleichung $\ddot{Q}(t) + \frac{1}{L\cdot C}\cdot Q(t) = 0$ her. Zeigen Sie, dass $Q(t) = Q_0 \cdot \cos(\omega\cdot t)$ mit $\omega = \sqrt{\frac{1}{L\cdot C}}$ eine Lösung der Differenzialgleichung ist.

[8 BE]

1.5

Es wird nun ein elektromagnetischer Schwingkreis betrachtet, bei dem die Ohm’schen Widerstände der Schaltung berücksichtigt werden. Es ergibt sich eine gedämpfte Schwingung, die sich mit der Formel $U(t) = U_0 \cdot \text{e}^{-k\cdot t} \cdot \cos(\omega\cdot t)$ für die Spannung am Kondensator ausdrücken lässt. Bestimmen Sie für die in Material 1 dargestellte Schwingung die Dämpfungskonstante $k$.

[4 BE]

Material 1: Spannungsverlauf am Kondensator eines Schwingkreises

1.6

Ein gedämpfter Schwingkreis wird mit einem Sinusgenerator zu einer erzwungenen Schwingung angeregt. In Material 2 ist die Amplitude der Kondensatorspannung in Abhängigkeit von der Anregungsfrequenz dargestellt. Erläutern Sie das Zustandekommen des Maximums in dem Diagramm. Skizzieren Sie in Material 2 einen möglichen Verlauf des Graphen für den Fall, dass durch einen zusätzlichen Ohm’schen Widerstand die Dämpfung des Schwingkreises erhöht wird.

[3 BE]

Material 2: Diagramm zur Anregung des Schwingkreises

Elektromagnetischer Schwingkreis und elektromagnetische Wellen

Im Folgenden werden elektromagnetische Schwingungen betrachtet, die von einem elektromagnetischen Schwingkreis erzeugt werden. Der Kondensator des Schwingkreises kann mithilfe eines Umschalters durch eine Gleichspannungsquelle aufgeladen werden. In der Schalterstellung A wird der Kondensator geladen und in der Schalterstellung B beginnt die elektromagnetische Schwingung mit dem vollständig geladenen Kondensator. Zunächst werden die Ohm’schen Widerstände vernachlässigt, d. h. es wird ein ungedämpfter elektromagnetischer Schwingkreis betrachtet.

Material 3

Materialien zur Untersuchung der Wellen aus Aufgabe 2.1

a) bedruckte Folie mit Streifen im Abstand von $0{,}23\text{ mm}$

b) kristallines Gitter aus Grafit

c) Metallgitter mit $200$ Spalten pro Meter

d) Doppelspalt aus Aluminium mit einer Spaltbreite von $2\text{ cm}$ und einem Spaltabstand von $20\text{ cm}$

2.1

Es werden elektromagnetische Wellen mit einer Frequenz von $10{,}5\text{ GHz}$ verwendet. Entscheiden Sie, welche der in Material 3 beschriebenen Materialien sich grundsätzlich dazu eignen, Interferenzerscheinungen dieser Wellen experimentell zu untersuchen. [3 BE]

Material 4

Doppelspalt zur Untersuchung der Wellenlänge von elektromagnetischer Strahlung (Zeichnung nicht maßstabsgetreu)

2.2

Mit einem Doppelspaltexperiment wird elektromagnetische Strahlung untersucht (Material 4).

Erläutern Sie in diesem Zusammenhang den Begriff „Gangunterschied“. [2 BE]

Ermitteln Sie eine mögliche Frequenz der elektromagnetischen Strahlung, die mit dem Aufbau in Material 4 am Ort P ein Intensitätsmaximum der Strahlung aufweist. [5 BE]

Geben Sie eine weitere mögliche Frequenz an. [1 BE]

Vorschlag B3 – Atommodelle

Modellvorstellungen dienen in der Physik der Veranschaulichung und dem Verständnis von Beobachtungen und sind die Grundlage für die mathematische Beschreibung von physikalischen Prozessen. Diese zentrale Rolle beim physikalischen Erkenntnisprozess wird auch bei den Atommodellen deutlich, die historisch mehrfach angepasst werden mussten.

Ernest Rutherford beschoss Metallfolien mit sich schnell bewegenden $\alpha$-Teilchen.

Beschreiben Sie anhand einer beschrifteten Skizze die Durchführung und das Ergebnis dieses Experiments.

Erläutern Sie die Deutung des Ergebnisses durch Rutherford.

[7 BE]

Für die Berechnung der Spektrallinien von Wasserstoff fand der Baseler Gymnasiallehrer Johann Jakob Balmer 1885, ohne die eigentlichen physikalischen Hintergründe genau zu kennen, die nach ihm benannte Formel (Balmer-Formel):

$$f = R_\mathrm{H} \cdot \left(\frac{1}{2^2} - \frac{1}{m^2}\right) \quad \text{mit } R_\mathrm{H} = 3{,}2898 \cdot 10^{15}\ \mathrm{Hz}$$

2.1

Erläutern Sie den Zusammenhang zwischen dieser Formel und dem Atommodell von Niels Bohr.

[3 BE]

2.2

Das Bohr’sche Atommodell postuliert, dass im atomaren Bereich die klassische Physik nur noch eingeschränkt gültig ist. Erläutern Sie zwei Widersprüche des Bohr’schen Atommodells zur klassischen Physik.

[4 BE]

2.3

Berechnen Sie mithilfe der Balmer-Formel, welchem Übergang die blaugrüne Linie mit der Wellenlänge $\lambda = 486\ \mathrm{nm}$ zugeordnet werden kann.

[3 BE]

2.4

Erläutern Sie kurz die folgende Gleichung:

$$E_n = -\frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{e^2}{r_n} + \frac{1}{2} m_e \cdot v_n^2$$

Leiten Sie aus dieser Gleichung unter Verwendung der beiden Formeln $r_n = \frac{n^2 \cdot h^2 \cdot \varepsilon_0}{\pi \cdot m_e \cdot e^2}$ (Radien der Bohr’schen Bahnen) und $v_n = \frac{e^2}{2 \cdot \varepsilon_0 \cdot n \cdot h}$ (Geschwindigkeiten der Elektronen auf diesen Bahnen) die allgemeine Formel für die Berechnung der Frequenzen der Wasserstofflinien (Rydberg-Formel) her.

Zeigen Sie, dass $R_\mathrm{H}$ lediglich aus Naturkonstanten bestimmt wird.

[8 BE]

2.5 Betrachtet man Atome mit mehreren Elektronen, kann man ähnliche chemische Eigenschaften mit dem Schalenmodell erklären. Atome von Alkalimetallen, wie z. B. Natrium (Material 1), besitzen nur ein einziges Elektron in der äußeren Schale (Valenzelektron) und deshalb eine geringe Ionisierungsenergie. Ein Natriumatom besitzt die Kernladungszahl $Z = 11$ und die Ionisierungsenergie $E_\mathrm{Ion} = 5{,}12\ \mathrm{eV}$, die sich aus der Formel $E_\mathrm{Ion} = (Z - \sigma)^2 \cdot R_\mathrm{H} \cdot h \cdot \frac{1}{n^2}$ ergibt.

Hierbei ist $n \in \mathbb{N}$, $n \ge 2$ die Nummer der äußeren Schale, $R_\mathrm{H}$ die Rydbergkonstante und $\sigma$ eine für das Atom spezifische Abschirmkonstante.

Material 1: Schalenmodell eines Natriumatoms ($Z = 11$)

2.5.1

Berechnen Sie die Wellenlänge und Frequenz der elektromagnetischen Strahlung, die zur Ionisierung von Natriumatomen benötigt wird.

[3 BE]

2.5.2

Berechnen Sie die Abschirmkonstante $\sigma_\mathrm{Na}$ für ein Natriumatom.

Erläutern Sie anhand des Schalenmodells die physikalische Bedeutung der Abschirmkonstante und geben Sie den Wert an, der demnach für die Abschirmkonstante zu erwarten wäre.

[6 BE]

2.6 Es wird jetzt ein einfach ionisiertes Helium ($\mathrm{He}^+$) (Material 2) betrachtet.

Begründen Sie mithilfe der Formel aus Aufgabe 2.5, dass für die Energiezustände des $\mathrm{He}^+$-Ions folgende Gleichung gilt: $E_n = -4 \cdot R_\mathrm{H} \cdot h \cdot \frac{1}{n^2}$.

Vergleichen Sie quantitativ die Energiezustände des Wasserstoffatoms mit denen des $\mathrm{He}^+$-Ions.

Zeichnen Sie das Energieniveauschema von $\mathrm{He}^+$ für $n \le 5$ maßstabsgetreu.

[8 BE]

Material 2: Schalenmodell eines He⁺-Ions ($Z = 2$)

$n$

1

2

3

4

5

$E_{\mathrm{He}^+}$ in $\mathrm{eV}$

Die von Bohr aufgestellten Postulate erscheinen willkürlich und lassen sich in seinem Modell nicht aus theoretischen Überlegungen ableiten. Eine Weiterentwicklung stellt das quantenmechanische Atommodell des linearen Potenzialtopfs dar.

3.1

Erläutern Sie das Modell des linearen Potenzialtopfs.

Skizzieren Sie den Verlauf der potenziellen Energie eines Teilchens in diesem Modell.

3.2

Ein Teilchen der Masse $m$ befinde sich in einem eindimensionalen Potenzialtopf der Länge $L$.

Zeigen Sie, dass die kinetische Energie des Teilchens nur die diskreten Werte $$E_{\text{kin},n} = \frac{h^2 \cdot n^2}{8 \cdot m \cdot L^2}$$ annehmen kann.