Aufgabe Vorschlag B1 - Aufgabe 1 · Abitur Hessen Physik LK 2022

1.1 Zeichnen Sie in Material 1 an der mit A gekennzeichneten Stelle die Kraftpfeile der wirkenden Kräfte im richtigen Größenverhältnis ein und beschriften Sie diese mit den Bezeichnungen Rückstellkraft $\vec{F}_\text{R}$, Gewichtskraft $\vec{F}_\text{G}$ und Fadenkraft $\vec{F}_\text{l}$.

Lösung: Einzeichnen und Beschriften: - Gewichtskraft $\vec{F}_\text{G}$ senkrecht nach unten - Fadenkraft $\vec{F}_\text{l}$ entlang des Fadens (in Fadenrichtung nach oben bzw. von der Aufhängung weg) - Rückstellkraft $\vec{F}_\text{R}$ tangential an die Bahnkurve (senkrecht zum Faden) - Kräfteparallelogramm: $\vec{F}_\text{G} = \vec{F}_\text{l} + \vec{F}_\text{R}$

1.2 Zeigen Sie, dass bei der Auslenkung des Pendels um die Strecke $s$ für die Rückstellkraft gilt: $F_\text{R} = -D\cdot s$ mit der Richtgröße $D = \frac{m\cdot g}{l}$.

Lösung: $$\text{Mit } F_\text{G} = m\cdot g \text{ und } \sin(\alpha) = \frac{F_\text{R}}{F_\text{G}} \Rightarrow F_\text{R} = m\cdot g\cdot \sin(\alpha)$$ $$\text{Weiterhin gilt: } \sin(\alpha) = \frac{s_\text{h}}{l} \Rightarrow F_\text{R} = \frac{m\cdot g}{l}\cdot s_\text{h}, \quad \text{mit } \frac{m\cdot g}{l} = \text{konst.} = D$$ Für kleine Winkel $\alpha$ gilt: $s_\text{h} \approx s$. Daraus folgt: $F_\text{R} = -D\cdot s$, da die Rückstellkraft und die Auslenkung entgegengesetzte Vorzeichen haben.

1.3 Leiten Sie ausgehend von der Formel $F_\text{R} = -D\cdot s$ aus Aufgabe 1.2 eine Differenzialgleichung für eine ungedämpfte harmonische Schwingung her. Leiten Sie daraus mit einem geeigneten Lösungsansatz das Zeit-Beschleunigung-Gesetz und damit eine Formel zur Berechnung der Schwingungsdauer $T$ eines ungedämpften Fadenpendels her.

Lösung: Herleiten der Differenzialgleichung: $$F = m\cdot a, \quad F = -D\cdot s \quad \text{und} \quad a = \ddot{s} \Rightarrow \text{DGL: } m\cdot \ddot{s} = -D\cdot s$$ Herleiten der Schwingungsdauer: Allgemeiner Lösungsansatz: $s(t) = s_\text{max}\cdot \cos(\omega\cdot t) \Rightarrow \ddot{s}(t) = -s_\text{max}\cdot \omega^2\cdot \cos(\omega\cdot t)$. Da die DGL für alle Zeiten $t$ erfüllt sein muss, ergibt das Einsetzen: $$D = m\cdot \omega^2$$ Mit $\omega = \frac{2\pi}{T}$ und $D = \frac{m\cdot g}{l}$ erhält man: $$T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$$

1.4 Berechnen Sie die Länge des Pendels.

Lösung: $0{,}487\text{ m}$ / $48{,}7\text{ cm}$

1.4 Berechnen Sie die Amplitude der Schwingung für einen Auslenkungswinkel von $\alpha = 6^\circ$.

Lösung: $0{,}051\text{ m}$ / $5{,}1\text{ cm}$ / $51\text{ mm}$

1.5 Erläutern Sie, insbesondere unter Betrachtung der Zeitpunkte $t = 0\text{ s}$, $t = \frac{1}{4}T$ und $t = \frac{1}{2}T$, die Energieformen und ihre Umwandlung im Laufe einer halben Schwingung.

Lösung: Zum Zeitpunkt $t = 0\text{ s}$ besitzt das System ausschließlich potenzielle Energie. Mit dem Beginn der Schwingung wird die potenzielle Energie in kinetische Energie umgewandelt. Beim Durchgang durch die Ruhelage ($t = \frac{1}{4}T$) hat die kinetische Energie ihren größten Wert. Die potenzielle Energie besitzt hier ihren geringsten Wert. Im Anschluss wird die kinetische Energie wieder in potenzielle Energie umgewandelt, bis nach $t = \frac{1}{2}T$ das System wieder ausschließlich potenzielle Energie besitzt.

1.6 Berechnen Sie die maximale kinetische Energie des Pendels unter Verwendung der Werte aus Aufgabe 1.4.

Lösung: $5{,}23\cdot 10^{-3}\text{ J}$ / $5{,}23\text{ mJ}$

1.6 Berechnen Sie die maximale Geschwindigkeit des Pendels unter Verwendung der Werte aus Aufgabe 1.4.

Lösung: $0{,}23\text{ m/s}$ / $23\text{ cm/s}$

1.6 Begründen Sie anhand einer Formel, dass die maximale Geschwindigkeit des Pendels nicht von seiner Masse abhängt.

Lösung: Aus dem Energieansatz $m\cdot g\cdot h = \frac{1}{2}m\cdot v_\text{max}^2$ folgt durch Kürzen der Masse $m$: $$v_\text{max} = \sqrt{2g\cdot h}$$ Bei der Bestimmung der maximalen Geschwindigkeit kürzt sich die Masse heraus. Die Masse ist daher nicht relevant für die Geschwindigkeit des Pendels.

1.7 Erklären Sie qualitativ, wie sich die Schwingungsdauer ändert, wenn das Pendel auf dem Mond schwingen würde. Beschreiben Sie, wie man den Ortsfaktor des Mondes mithilfe des Pendels bestimmen könnte. Erklären Sie, wie man ohne die Verwendung besserer Messgeräte die Genauigkeit der Messung erhöhen könnte.

Lösung: Erklären: Es gilt: $T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}} \Rightarrow T \sim \frac{1}{\sqrt{g}}$. Da der Ortsfaktor $g$ auf dem Mond kleiner ist, steigt die Schwingungsdauer. Beschreiben: Durch Messung der Schwingungsdauer $T$ wird unter Verwendung der Pendellänge $l$ der Ortsfaktor $g_\text{Mond} = \frac{4\pi^2 l}{T^2}$ bestimmt. Erklären der Genauigkeitserhöhung: Durch die Messung mehrerer Schwingungen (z. B. $n = 10$ oder $20$) und die Berechnung des Mittelwerts wird die Messung genauer, da sich zufällige Messfehler (insbesondere Reaktionszeit beim Stoppen) herausmitteln.