Aufgabe Vorschlag B2 - Aufgabe 1 · Abitur Hessen Physik LK 2022

Elektromagnetischer Schwingkreis und elektromagnetische Wellen

Im Folgenden werden elektromagnetische Schwingungen betrachtet, die von einem elektromagnetischen Schwingkreis erzeugt werden. Der Kondensator des Schwingkreises kann mithilfe eines Umschalters durch eine Gleichspannungsquelle aufgeladen werden. In der Schalterstellung A wird der Kondensator geladen und in der Schalterstellung B beginnt die elektromagnetische Schwingung mit dem vollständig geladenen Kondensator. Zunächst werden die Ohm’schen Widerstände vernachlässigt, d. h. es wird ein ungedämpfter elektromagnetischer Schwingkreis betrachtet.

1.1

Skizzieren Sie eine Schaltung mit Kondensator, Spule, Gleichspannungsquelle und Schalter, die den obigen Vorgaben entspricht und Messgeräte zur Messung der Spannung am Kondensator und der Stromstärke durch die Spule enthält. Beschriften Sie die beiden Schalterstellungen.

[2 BE]

1.2 Ein Schwingkreis besteht aus einem Kondensator der Kapazität $C = 20\ \mu\text{F}$ und einer Spule mit der Induktivität $L = 4{,}5\ \text{mH}$. Die Schwingung startet zum Zeitpunkt $t = 0\ \text{s}$ mit einer maximalen Spannung von $U_{\max} = 1{,}5\ \text{V}$ am Kondensator.

1.2.1

Zeigen Sie, dass die Frequenz des Schwingkreises $f = 530{,}5\ \text{Hz}$ beträgt. Berechnen Sie die Schwingungsdauer $T$ und begründen Sie, dass der zeitliche Verlauf der Spannung am Kondensator durch $U(t) = 1{,}5\ \text{V} \cdot \cos\left(3333\frac{1}{\text{s}}\cdot t\right)$ ausgedrückt werden kann.

[6 BE]

1.2.2

Berechnen Sie die maximale elektrische Energie, die im Kondensator vorliegt. Erläutern Sie, wie sich daraus die maximale Stromstärke $I_{\max}$ in der Spule des Schwingkreises bestimmen lässt. Leiten Sie den Zusammenhang $I_{\max} = \frac{U_{\max}}{\omega \cdot L}$ her. Berechnen Sie die Stromstärke $I_{\max}$.

[9 BE]

1.3

Erläutern Sie allgemein die Vorgänge im Schwingkreis, die dazu führen, dass nach dem Entladen des Kondensators der Strom weiter fließt und der Kondensator in die entgegengesetzte Richtung aufgeladen wird. Vergleichen Sie diese Phase der Schwingung mit der entsprechenden Phase bei der Schwingung einer Masse, die an einer Feder hängt, und geben Sie mithilfe der Formeln für die Schwingungsdauer die mechanischen Größen, die den Größen $L$ und $C$ entsprechen, an.

[7 BE]

1.4

Geben Sie Terme für den Spannungsabfall über dem Kondensator und für den Spannungsabfall über der Spule an und leiten Sie daraus die Differenzialgleichung $\ddot{Q}(t) + \frac{1}{L\cdot C}\cdot Q(t) = 0$ her. Zeigen Sie, dass $Q(t) = Q_0 \cdot \cos(\omega\cdot t)$ mit $\omega = \sqrt{\frac{1}{L\cdot C}}$ eine Lösung der Differenzialgleichung ist.

[8 BE]

1.5

Es wird nun ein elektromagnetischer Schwingkreis betrachtet, bei dem die Ohm’schen Widerstände der Schaltung berücksichtigt werden. Es ergibt sich eine gedämpfte Schwingung, die sich mit der Formel $U(t) = U_0 \cdot \text{e}^{-k\cdot t} \cdot \cos(\omega\cdot t)$ für die Spannung am Kondensator ausdrücken lässt. Bestimmen Sie für die in Material 1 dargestellte Schwingung die Dämpfungskonstante $k$.

[4 BE]

Material 1: Spannungsverlauf am Kondensator eines Schwingkreises

1.6

Ein gedämpfter Schwingkreis wird mit einem Sinusgenerator zu einer erzwungenen Schwingung angeregt. In Material 2 ist die Amplitude der Kondensatorspannung in Abhängigkeit von der Anregungsfrequenz dargestellt. Erläutern Sie das Zustandekommen des Maximums in dem Diagramm. Skizzieren Sie in Material 2 einen möglichen Verlauf des Graphen für den Fall, dass durch einen zusätzlichen Ohm’schen Widerstand die Dämpfung des Schwingkreises erhöht wird.

[3 BE]

Material 2: Diagramm zur Anregung des Schwingkreises