Aufgabe Vorschlag B3 - Aufgabe 3 · Abitur Hessen Physik LK 2022

3.1 Erläutern Sie das Modell des linearen Potenzialtopfs.

Lösung: Beim Modell des linearen Potenzialtopfs kann sich das Elektron in einer Raumrichtung zwischen zwei Wänden kräftefrei bewegen. Die Wände des Potenzialtopfes können von dem Elektron nicht überwunden werden. In einem linearen Potenzialtopf der Breite $L$ ist $E_{\text{pot}} = 0$ für $0 \le x \le L$ und $E_{\text{pot}} = \infty$ für alle anderen Werte von $x$. Die Aufenthaltswahrscheinlichkeit des Elektrons an den Rändern des Topfs ist null. Die Wellenfunktionen des Elektrons im Potenzialtopf entsprechen daher den Eigenschwingungen stehender Seilwellen mit zwei festen Enden.

3.1 Skizzieren Sie den Verlauf der potenziellen Energie eines Teilchens in diesem Modell.

Lösung: Skizze eines Koordinatensystems mit $E_{\text{pot}}(x)$ gegen $x$: Im Bereich von $0$ bis $L$ verläuft die potenzielle Energie bei $0$. An den Rändern $x = 0$ und $x = L$ steigen unendlich hohe Wände empor ($E_{\text{pot}} \to \infty$), außerhalb ist der Bereich schraffiert dargestellt.

3.2 Zeigen Sie, dass die kinetische Energie des Teilchens nur die diskreten Werte $E_{\text{kin},n} = \frac{h^2 \cdot n^2}{8 \cdot m \cdot L^2}$ annehmen kann.

Lösung: $$E_{\text{kin}} = \frac{1}{2} \cdot m \cdot v^2 \text{ mit } p = m \cdot v \Rightarrow E_{\text{kin}} = \frac{p^2}{2m}$$ $$\lambda = \frac{h}{p} \Rightarrow p = \frac{h}{\lambda} \Rightarrow E_{\text{kin}} = \frac{h^2}{2 \cdot m \cdot \lambda^2}$$ Es entsteht eine stehende Welle mit Knoten an den Enden: $$L = n \cdot \frac{\lambda_n}{2} \Rightarrow \lambda_n = \frac{2 \cdot L}{n}$$ Kinetische Energie: $$E_{\text{kin},n} = \frac{h^2 \cdot n^2}{4 \cdot L^2 \cdot 2 \cdot m} = \frac{h^2}{8 \cdot L^2 \cdot m} \cdot n^2$$