Abitur Hessen Mathematik 2026 · LK · Teil B · Analytische Geometrie (WTR)

Abbildung 1 zeigt den Körper $ABCDEF$ mit den Eckpunkten $A(2|0|-0{,}5)$, $B(3|5|-0{,}5)$, $C(-3|5|-0{,}5)$, $D(-2|0|-0{,}5)$, $E(2|5|1)$ und $F(-2|5|1)$. Dieser stellt modellhaft eine aus dem Wasser ragende Sprungschanze für Wasserski dar. Das Viereck $AEFD$ beschreibt den sogenannten Schanzentisch, die xy-Ebene stellt die Wasseroberfläche dar. Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht einem Meter in der Realität.

Ein Wasserskifahrer fährt den Schanzentisch geradlinig hinauf, bis er die Kante erreicht, die im Modell der Strecke $\overline{EF}$ entspricht. Der anschließende Sprung beginnt an dieser Kante und endet auf der Wasseroberfläche. Insgesamt legen die Füße des Wasserskifahrers einen Weg zurück, der im Modell als Kurve in einer Ebene beschrieben werden kann, die senkrecht zur xy-Ebene liegt und mit $L$ bezeichnet wird. Die Ebene $L$ kann durch die Gleichung $10x - 3y = 0$ dargestellt werden. Die Orte des Absprungs und des Auftreffens auf der Wasseroberfläche werden im Modell durch die Punkte $V$ bzw. $W$ beschrieben. In Abbildung 2 ist die Kurve in der Ebene $L$ dargestellt; die eingetragene Weite des Sprungs ist die Länge einer Strecke, die im Modell ebenfalls in der Ebene $L$ liegt.

a

Das Viereck AEFD ist ein Parallelogramm. Zeigen Sie, dass es auch ein Rechteck ist.

b

Begründen Sie, dass die yz-Ebene eine Symmetrieebene des Körpers ABCDEF ist.

d

Bestimmen Sie die Größe des Winkels, unter dem der Schanzentisch gegenüber der Wasseroberfläche geneigt ist.

e

Der Teil des Schanzentischs, der sich oberhalb der Wasseroberfläche befindet, soll als Werbefläche genutzt werden. Die folgende Aussage stellt den ersten Schritt der Bestimmung des Flächeninhalts dieser Werbefläche dar:

$$\text{Mit } \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ -0{,}5 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 5 \\ 1{,}5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x \\ y \\ 0 \end{pmatrix} \text{ ergibt sich } r = \frac{1}{3}.$$

Geben Sie die Bedeutung dieses Wertes $\frac{1}{3}$ für $r$ im Sachzusammenhang an und berechnen Sie den Flächeninhalt dieser Werbefläche.

g

Im gegebenen Koordinatensystem wird der beschriebene Weg beim Sprung durch die Punkte $(0{,}3a \mid a \mid -0{,}05 \cdot (a - 2{,}61) \cdot (a - 13{,}39))$ mit geeigneten Werten von $a$ dargestellt. Von Interesse ist die Weite des Sprungs, die in Abbildung 2 veranschaulicht ist. Bestimmen Sie die Weite des Sprungs auf zehntel Meter gerundet.

Abbildung 1 zeigt den Körper $ABCDEF$ mit den Eckpunkten $A(2|0|-0{,}5)$, $B(3|5|-0{,}5)$, $C(-3|5|-0{,}5)$, $D(-2|0|-0{,}5)$, $E(2|5|1)$ und $F(-2|5|1)$. Dieser stellt modellhaft eine aus dem Wasser ragende Sprungschanze für Wasserski dar. Das Viereck $AEFD$ beschreibt den sogenannten Schanzentisch, die xy-Ebene stellt die Wasseroberfläche dar. Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht einem Meter in der Realität.

Ein Wasserskifahrer fährt den Schanzentisch geradlinig hinauf, bis er die Kante erreicht, die im Modell der Strecke $\overline{EF}$ entspricht. Der anschließende Sprung beginnt an dieser Kante und endet auf der Wasseroberfläche. Insgesamt legen die Füße des Wasserskifahrers einen Weg zurück, der im Modell als Kurve in einer Ebene beschrieben werden kann, die senkrecht zur xy-Ebene liegt und mit $L$ bezeichnet wird. Die Ebene $L$ kann durch die Gleichung $10x - 3y = 0$ dargestellt werden. Die Orte des Absprungs und des Auftreffens auf der Wasseroberfläche werden im Modell durch die Punkte $V$ bzw. $W$ beschrieben. In Abbildung 2 ist die Kurve in der Ebene $L$ dargestellt; die eingetragene Weite des Sprungs ist die Länge einer Strecke, die im Modell ebenfalls in der Ebene $L$ liegt.

c

Für eine reelle Zahl $k$ ist der Vektor $\begin{pmatrix} k \\ 3 \\ -10 \end{pmatrix}$ ein Normalenvektor der Ebene, in der das Rechteck AEFD liegt. Begründen Sie ohne Rechnung, dass $k = 0$ ist.

f

Beurteilen Sie, ob der Wasserskifahrer so über den Schanzentisch fährt, dass sein Weg im Modell in der Symmetrieebene des Körpers ABCDEF verläuft.

Ja

Nein

Die Abbildung zeigt die Pyramide $ABCDS$ mit $A(0|-3|0)$, $B(4|-1|0)$, $C(4|1|0)$, $D(0|3|0)$ und $S(2|0|4)$.

a

Zeigen Sie, dass die Grundfläche $ABCD$ ein Trapez ist, und berechnen Sie das Volumen der Pyramide.

(Bruch oder Dezimalzahl gerundet)

b

Bestimmen Sie die Größe des Winkels, den die Kanten $\overline{CD}$ und $\overline{CS}$ einschließen.

°

e

Der Kreis, den die Spitze der Pyramide beschreibt, hat den Radius $\sqrt{19{,}2}$. Beurteilen Sie folgende Aussage:

Während des Drehvorgangs gibt es eine Position der Pyramide, bei der ihre Spitze die $y$-Koordinate $5{,}6$ hat.

Die Abbildung zeigt die Pyramide $ABCDS$ mit $A(0|-3|0)$, $B(4|-1|0)$, $C(4|1|0)$, $D(0|3|0)$ und $S(2|0|4)$.

Die Ebene $\text{L}$ mit der Gleichung $-2x + y + 4 = 0$ schneidet die Kante $\overline{\text{CD}}$ im Punkt $\text{H}$.

c)

Berechnen Sie die Koordinaten von $\text{H}$. (zur Kontrolle: $\text{H}(2{,}8 \mid 1{,}6 \mid 0)$)

$\text{H}($

$\mid$

$\mid$

$)$

Die Pyramide ABCDS wird um die Gerade CD um einen Winkel der Größe $360^\circ$ gedreht. Dabei durchläuft die Spitze einen Kreis.

d)

Begründen Sie, dass dieser Kreis in der Ebene $\text{L}$ liegt und $\text{H}$ der Mittelpunkt des Kreises ist.

[4 BE]