Abitur Hessen Mathematik 2026 · LK · Teil A · Analysis

Für eine Zahl $k > 0$ sind die in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $f$ und $g$ mit $f(x) = 2\mathrm{e}^{k \cdot x}$ und $g(x) = 2\mathrm{e}^{-k \cdot x}$ gegeben.

a

Geben Sie an, wie der Graph von $f$ aus dem Graphen von $g$ erzeugt werden kann.

Für eine Zahl $k > 0$ sind die in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $f$ und $g$ mit $f(x) = 2\mathrm{e}^{k \cdot x}$ und $g(x) = 2\mathrm{e}^{-k \cdot x}$ gegeben.

b

Die Graphen von $f$ und $g$ schneiden sich senkrecht. Bestimmen Sie $k$.

Für eine Zahl $k > 0$ sind die in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $f$ und $g$ mit $f(x) = 2\mathrm{e}^{k \cdot x}$ und $g(x) = 2\mathrm{e}^{-k \cdot x}$ gegeben.

Die Abbildung zeigt den Graphen der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $g$ mit $g(x) = -2x + 4$.

a

Es gibt eine positive reelle Zahl $k$, die Lösung der Gleichung $\int_{0}^{k} g(x)\,\mathrm{d}x = 0$ ist. Veranschaulichen Sie in der Abbildung für diese Zahl $k$ die geometrische Bedeutung der Gleichung.

b

Bestimmen Sie alle Stammfunktionen von $g$, die ausschließlich negative Funktionswerte haben.

Für eine Zahl $k > 0$ sind die in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $f$ und $g$ mit $f(x) = 2\mathrm{e}^{k \cdot x}$ und $g(x) = 2\mathrm{e}^{-k \cdot x}$ gegeben.

Betrachtet werden die Funktion $f$ mit $f(x) = \ln(x + 5) + 1$ und die Funktion $g$ mit $g(x) = \ln(x - a) + b$, wobei $a$ und $b$ ganzzahlig sind. Die Definitionsmengen von $f$ und $g$ sind jeweils so groß wie möglich gewählt.

a

Berechnen Sie die Nullstelle von $f$. [2 BE]

b

Der Graph von $g$ verläuft durch den Punkt $(-1 \mid -1)$. Die Abbildung zeigt den Graphen von $g$. Ermitteln Sie $a$ und $b$. [3 BE]

Für eine Zahl $k > 0$ sind die in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $f$ und $g$ mit $f(x) = 2\mathrm{e}^{k \cdot x}$ und $g(x) = 2\mathrm{e}^{-k \cdot x}$ gegeben.

Gegeben sind die in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $f: x \mapsto 4 e^{\frac{1}{2}x+1}$ und $g: x \mapsto x^2 \cdot e^{\frac{1}{2}x+1}$.

a

Zeigen Sie, dass sich die Graphen von $f$ und $g$ nur für $x = -2$ und $x = 2$ schneiden. [1 BE]

b

Die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $G: x \mapsto (2x^2 - 8x + 16) \cdot e^{\frac{1}{2}x+1}$ ist eine Stammfunktion von $g$. Berechnen Sie den Inhalt der Fläche, die die Graphen von $f$ und $g$ einschließen. [4 BE]

Gegeben ist eine in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit der Wertemenge $[-3; 2[$.

Gegeben ist eine in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit der Wertemenge $[-3; 2[$.

a

Begründen Sie, dass der Graph von $f$ nicht symmetrisch bezüglich des Koordinatenursprungs ist. [1 BE]

b

Betrachtet wird die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $h$ mit $h(x) = -2 \cdot f(x - 5) + 1$. Geben Sie die Wertemenge von $h$ an und begründen Sie Ihre Angabe. [4 BE]

Gegeben ist eine in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit der Wertemenge $[-3; 2[$.

Die Abbildung zeigt den bezüglich des Koordinatenursprungs symmetrischen Graphen einer in $\mathbb{R}$ definierten ganzrationalen Funktion $f$. Für jede reelle Zahl $a$ wird die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $h_a$ mit $h_a(x) = f(x) + a \cdot x$ betrachtet. Der Graph der ersten Ableitungsfunktion $h'_a$ von $h_a$ ist für jeden Wert von $a$ eine Parabel, deren Scheitelpunkt auf der y-Achse liegt. Es gibt genau einen Wert von $a$, für den der Graph von $h_a$ genau eine waagerechte Tangente besitzt. Dieser Wert ist ganzzahlig. Bestimmen Sie mithilfe der Abbildung diesen Wert von $a$.

$a =$

Gegeben ist eine in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit der Wertemenge $[-3; 2[$.

Die Abbildung zeigt den Graphen einer in $\mathbb{R}$ definierten differenzierbaren Funktion $f$, die genau zwei Nullstellen hat: $-1{,}5$ und $0$. Betrachtet wird die in $\mathbb{R}$ definierte Integralfunktion $J: x \mapsto \int_0^x f(t)\,\mathrm{d}t$.

Beurteilen Sie die folgende Aussage:

$J$ hat genau zwei Nullstellen.