Abitur Hessen Mathematik 2026 · LK · Teil B · Analysis (CAS)

Gegeben ist die Schar der in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $f_a$ mit $f_a(x) = \frac{60}{a} \cdot x \cdot (x-a)^2$ und $a \in \mathbb{R}^+$. Der Graph von $f_a$ wird mit $G_a$ bezeichnet.

An einem bestimmten Sommertag hat das Strandbad an einem Badesee von 9:00 Uhr bis 21:00 Uhr geöffnet. Außerhalb der Öffnungszeiten befindet sich kein Gast im Strandbad. Am betrachteten Tag wird die Anzahl der Gäste erfasst, die bis zu einem bestimmten Zeitpunkt das Strandbad betreten. Dabei wird vereinfachend angenommen, dass an diesem Tag jeder Gast genau einmal das Strandbad betritt.

Die in $[0;12]$ definierte Funktion $g$ ist durch$$g(x) = \begin{cases} f_{11}(x) & \text{für } 0 \le x \le 11 \\ 0 & \text{für } 11 < x \le 12 \end{cases}$$festgelegt. Die Funktion $g$ beschreibt modellhaft die momentane Änderungsrate der erfassten Anzahl, die als Eingangsrate bezeichnet wird. Dabei ist $x$ die seit 9:00 Uhr vergangene Zeit in Stunden und $g(x)$ die Eingangsrate in der Einheit $\frac{1}{\text{h}}$.

Die Anzahl der Gäste, die an dem betrachteten Tag bis zu einem bestimmten Zeitpunkt das Strandbad verlassen, wird ebenfalls erfasst. Die momentane Änderungsrate dieser Anzahl (Ausgangsrate) wird durch die in $[0;12]$ definierte Funktion $h$ beschrieben. Dabei ist $x$ die seit 9:00 Uhr vergangene Zeit in Stunden und $h(x)$ die Ausgangsrate in der Einheit $\frac{1}{\text{h}}$. In der Abbildung sind die Graphen von $g$ und $h$ dargestellt.

d)

Der Graph der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $w_a$ mit $w_a(x) = \frac{11}{10}\cdot f_a\left(\frac{11}{10}\cdot (12-x)\right)$ kann schrittweise aus $G_a$ erzeugt werden durch:

Streckung mit einem Faktor $s_x$ in x-Richtung

Streckung mit einem Faktor $s_y$ in y-Richtung

Spiegelung an der y-Achse

Verschiebung um 12 in positive x-Richtung

Betrachtet werden die auf $G_a$ liegenden Punkte $A(0|0)$, $B(a|0)$ und $C(x_C|f_a(x_C))$ mit $0 < x_C < a$. Auf dem Graphen von $w_a$ gibt es Punkte $A'$, $B'$ und $C'$, die den Punkten $A$, $B$ bzw. $C$ gemäß der beschriebenen Beziehung der beiden Graphen entsprechen. Geben Sie die Faktoren $s_x$ und $s_y$ an und beurteilen Sie folgende Aussage:

Die Dreiecke ABC und A'B'C' haben den gleichen Flächeninhalt.

e)

Begründen Sie die folgende Aussage:

Das Modell steht in Einklang damit, dass bereits ab 20:00 Uhr kein Gast mehr eingelassen wird.

Gegeben ist die Schar der in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $f_a$ mit $f_a(x) = \frac{60}{a} \cdot x \cdot (x-a)^2$ und $a \in \mathbb{R}^+$. Der Graph von $f_a$ wird mit $G_a$ bezeichnet.

An einem bestimmten Sommertag hat das Strandbad an einem Badesee von 9:00 Uhr bis 21:00 Uhr geöffnet. Außerhalb der Öffnungszeiten befindet sich kein Gast im Strandbad. Am betrachteten Tag wird die Anzahl der Gäste erfasst, die bis zu einem bestimmten Zeitpunkt das Strandbad betreten. Dabei wird vereinfachend angenommen, dass an diesem Tag jeder Gast genau einmal das Strandbad betritt.

Die in $[0;12]$ definierte Funktion $g$ ist durch$$g(x) = \begin{cases} f_{11}(x) & \text{für } 0 \le x \le 11 \\ 0 & \text{für } 11 < x \le 12 \end{cases}$$festgelegt. Die Funktion $g$ beschreibt modellhaft die momentane Änderungsrate der erfassten Anzahl, die als Eingangsrate bezeichnet wird. Dabei ist $x$ die seit 9:00 Uhr vergangene Zeit in Stunden und $g(x)$ die Eingangsrate in der Einheit $\frac{1}{\text{h}}$.

Die Anzahl der Gäste, die an dem betrachteten Tag bis zu einem bestimmten Zeitpunkt das Strandbad verlassen, wird ebenfalls erfasst. Die momentane Änderungsrate dieser Anzahl (Ausgangsrate) wird durch die in $[0;12]$ definierte Funktion $h$ beschrieben. Dabei ist $x$ die seit 9:00 Uhr vergangene Zeit in Stunden und $h(x)$ die Ausgangsrate in der Einheit $\frac{1}{\text{h}}$. In der Abbildung sind die Graphen von $g$ und $h$ dargestellt.

a)

Begründen Sie mithilfe des Funktionsterms von $f_a$, dass $G_a$ die x-Achse nur in den Punkten $A(0|0)$ und $B(a|0)$ schneidet. Zeigen Sie, dass die Steigung von $G_a$ im Punkt $A$ dem 60-fachen Wert von $a$ entspricht und dass die x-Achse die Tangente an $G_a$ im Punkt $B$ ist.

c)

Es gibt einen Wert von $a$, für den der Wendepunkt von $G_a$ auf der Gerade mit der Gleichung $y = x$ liegt. Berechnen Sie diesen Wert von $a$.

f)

Es gibt genau einen Zeitpunkt, zu dem die Eingangsrate ihren größten Wert annimmt. Ermitteln Sie rechnerisch sowohl den Zeitpunkt als auch den Wert.

1/h

Gegeben ist die Schar der in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $f_a$ mit $f_a(x) = \frac{60}{a} \cdot x \cdot (x-a)^2$ und $a \in \mathbb{R}^+$. Der Graph von $f_a$ wird mit $G_a$ bezeichnet.

An einem bestimmten Sommertag hat das Strandbad an einem Badesee von 9:00 Uhr bis 21:00 Uhr geöffnet. Außerhalb der Öffnungszeiten befindet sich kein Gast im Strandbad. Am betrachteten Tag wird die Anzahl der Gäste erfasst, die bis zu einem bestimmten Zeitpunkt das Strandbad betreten. Dabei wird vereinfachend angenommen, dass an diesem Tag jeder Gast genau einmal das Strandbad betritt.

Die in $[0;12]$ definierte Funktion $g$ ist durch$$g(x) = \begin{cases} f_{11}(x) & \text{für } 0 \le x \le 11 \\ 0 & \text{für } 11 < x \le 12 \end{cases}$$festgelegt. Die Funktion $g$ beschreibt modellhaft die momentane Änderungsrate der erfassten Anzahl, die als Eingangsrate bezeichnet wird. Dabei ist $x$ die seit 9:00 Uhr vergangene Zeit in Stunden und $g(x)$ die Eingangsrate in der Einheit $\frac{1}{\text{h}}$.

Die Anzahl der Gäste, die an dem betrachteten Tag bis zu einem bestimmten Zeitpunkt das Strandbad verlassen, wird ebenfalls erfasst. Die momentane Änderungsrate dieser Anzahl (Ausgangsrate) wird durch die in $[0;12]$ definierte Funktion $h$ beschrieben. Dabei ist $x$ die seit 9:00 Uhr vergangene Zeit in Stunden und $h(x)$ die Ausgangsrate in der Einheit $\frac{1}{\text{h}}$. In der Abbildung sind die Graphen von $g$ und $h$ dargestellt.

b

Für jeden Wert von $a$ schließt $G_a$ mit der $x$-Achse eine Fläche ein. Berechnen Sie den Wert von $a$, für den der Inhalt dieser Fläche $10$ beträgt. [3 BE]

g

Die beiden Graphen und die $x$-Achse schließen drei Flächen ein, die in der Abbildung mit I, II und III bezeichnet sind. Erläutern Sie im Sachzusammenhang, dass die Inhalte der Flächen I und III gleich sind. [4 BE]

h

Betrachtet wird zudem die in $[0;12]$ definierte Funktion $D$ mit $D(x)=\int_{0}^{x}(g(t)-h(t))\,\mathrm{d}t$.

Im Bereich $2 \le x \le 11$ nimmt die Funktion $D$ ihr Maximum an. In diesem Bereich schneiden sich die Graphen von $g$ und $h$ genau in einem Punkt, dessen $x$-Koordinate mit $x_S$ bezeichnet wird. Begründen Sie, dass das Maximum von $D$ an der Stelle $x_S$ angenommen wird, und geben Sie die Bedeutung des Maximums von $D$ im Sachzusammenhang an. [4 BE]

Zur Beschreibung des Wachstums einer Pflanze wird ihre Höhe gemessen. Beim Einpflanzen beträgt die Höhe der Pflanze 3 Zentimeter. Betrachtet wird im Folgenden die momentane Änderungsrate der Höhe der Pflanze, die als Wachstumsrate bezeichnet wird. Die Wachstumsrate wird für $t \ge 0$ modellhaft durch die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $r$ mit $r(t) = \frac{3}{4}t \cdot (t+4) \cdot \mathrm{e}^{-\frac{1}{2}t}$ beschrieben. Dabei gibt $t$ die seit dem Einpflanzen vergangene Zeit in Wochen an und $r(t)$ die Wachstumsrate in Zentimeter pro Woche. Abbildung 1 zeigt den Graphen von $r$.

a)

Es gilt $r(10) < 1$. Geben Sie die Bedeutung dieser Tatsache im Sachzusammenhang an.

[2 BE]

b)

Es gibt einen Zeitpunkt, zu dem die Wachstumsrate genauso groß ist wie fünf Wochen davor. Berechnen Sie diesen Zeitpunkt und stellen Sie den Sachverhalt in Abbildung 1 dar.

[4 BE]

Zur Beschreibung des Wachstums einer Pflanze wird ihre Höhe gemessen. Beim Einpflanzen beträgt die Höhe der Pflanze 3 Zentimeter. Betrachtet wird im Folgenden die momentane Änderungsrate der Höhe der Pflanze, die als Wachstumsrate bezeichnet wird. Die Wachstumsrate wird für $t \ge 0$ modellhaft durch die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $r$ mit $r(t) = \frac{3}{4}t \cdot (t+4) \cdot \mathrm{e}^{-\frac{1}{2}t}$ beschrieben. Dabei gibt $t$ die seit dem Einpflanzen vergangene Zeit in Wochen an und $r(t)$ die Wachstumsrate in Zentimeter pro Woche. Abbildung 1 zeigt den Graphen von $r$.

c)

Berechnen Sie den Zeitpunkt, zu dem die Pflanze am schnellsten wächst.

[2 BE]

Zur Beschreibung des Wachstums einer Pflanze wird ihre Höhe gemessen. Beim Einpflanzen beträgt die Höhe der Pflanze 3 Zentimeter. Betrachtet wird im Folgenden die momentane Änderungsrate der Höhe der Pflanze, die als Wachstumsrate bezeichnet wird. Die Wachstumsrate wird für $t \ge 0$ modellhaft durch die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $r$ mit $r(t) = \frac{3}{4}t \cdot (t+4) \cdot \mathrm{e}^{-\frac{1}{2}t}$ beschrieben. Dabei gibt $t$ die seit dem Einpflanzen vergangene Zeit in Wochen an und $r(t)$ die Wachstumsrate in Zentimeter pro Woche. Abbildung 1 zeigt den Graphen von $r$.

d)

Gegeben ist die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $w$, deren erste Ableitungsfunktion $r$ ist und für die $w(0) = 0$ gilt.

Außerdem gilt $\lim_{t\to +\infty} (w(t)+3) = 27$.

Geben Sie die Bedeutung sowohl von $w(t)$ als auch des Wertes 27 im Sachzusammenhang an.

[3 BE]

Gegeben ist die Schar der in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $f_a$ mit $$f_a(x) = \frac{3}{4} \cdot (x^2 - a^2) \cdot e^{1 - \frac{x}{a}}$$ und $a \in \mathbb{R}^+$. Der Graph von $f_a$ wird mit $G_a$ bezeichnet.

Gegeben ist außerdem die in $\mathbb{R}^+$ definierte Funktion $h$ mit $h(x) = k \cdot \ln x$ mit einer positiven reellen Zahl $k$. Die Graphen von $f_1$ und $h$ haben im Punkt $(1|0)$ eine gemeinsame Tangente.

a)

Geben Sie die Nullstellen von $f_a$ an und begründen Sie, dass $G_a$ für jeden Wert von $a$ die y-Achse unterhalb der x-Achse schneidet.

Gegeben ist die Schar der in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $f_a$ mit $$f_a(x) = \frac{3}{4} \cdot (x^2 - a^2) \cdot e^{1 - \frac{x}{a}}$$ und $a \in \mathbb{R}^+$. Der Graph von $f_a$ wird mit $G_a$ bezeichnet.

Gegeben ist außerdem die in $\mathbb{R}^+$ definierte Funktion $h$ mit $h(x) = k \cdot \ln x$ mit einer positiven reellen Zahl $k$. Die Graphen von $f_1$ und $h$ haben im Punkt $(1|0)$ eine gemeinsame Tangente.

b)

Gegeben ist außerdem die in $\mathbb{R}^+$ definierte Funktion $h$ mit $h(x) = k \cdot \ln x$ mit einer positiven reellen Zahl $k$. Die Graphen von $f_1$ und $h$ haben im Punkt $(1|0)$ eine gemeinsame Tangente.

Berechnen Sie $k$ und geben Sie eine Gleichung der gemeinsamen Tangente an.

d)

Für jeden Wert von $a$ besitzt der Graph $G_a$ einen Tiefpunkt $T_a$ und einen Hochpunkt $H_a$. Es gibt einen Wert von $a$, für den die Punkte $T_a$ und $H_a$ gegenüberliegende Eckpunkte eines Quadrats sind, dessen Seiten parallel zu den Koordinatenachsen liegen. Bestimmen Sie diesen Wert von $a$ auf Hundertstel gerundet.

Gegeben ist die Schar der in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $f_a$ mit $$f_a(x) = \frac{3}{4} \cdot (x^2 - a^2) \cdot e^{1 - \frac{x}{a}}$$ und $a \in \mathbb{R}^+$. Der Graph von $f_a$ wird mit $G_a$ bezeichnet.

Gegeben ist außerdem die in $\mathbb{R}^+$ definierte Funktion $h$ mit $h(x) = k \cdot \ln x$ mit einer positiven reellen Zahl $k$. Die Graphen von $f_1$ und $h$ haben im Punkt $(1|0)$ eine gemeinsame Tangente.

c)

Abbildung 2 zeigt die Graphen von $f_1'$ und von $h'$. Der einzige gemeinsame Punkt der Graphen ist $(1|f_1'(1))$. Geben Sie die Anzahl der gemeinsamen Punkte der Graphen von $f_1$ und $h$ an. Begründen Sie Ihre Angabe ohne weitere Rechnung mithilfe Abbildung 2.

Gegeben ist die Schar der in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $f_a$ mit $$f_a(x) = \frac{3}{4} \cdot (x^2 - a^2) \cdot e^{1 - \frac{x}{a}}$$ und $a \in \mathbb{R}^+$. Der Graph von $f_a$ wird mit $G_a$ bezeichnet.

Gegeben ist außerdem die in $\mathbb{R}^+$ definierte Funktion $h$ mit $h(x) = k \cdot \ln x$ mit einer positiven reellen Zahl $k$. Die Graphen von $f_1$ und $h$ haben im Punkt $(1|0)$ eine gemeinsame Tangente.

e)

Im vierten Quadranten schließt $G_a$ mit den beiden Koordinatenachsen eine Fläche ein. Der Inhalt dieser Fläche stimmt näherungsweise mit dem Inhalt des Dreiecks überein, dessen Eckpunkte der Koordinatenursprung, der Schnittpunkt von $G_a$ mit der y-Achse und der Schnittpunkt von $G_a$ mit der positiven x-Achse sind.

Zeigen Sie, dass die prozentuale Abweichung des Inhalts der Dreiecksfläche vom Inhalt der eingeschlossenen Fläche unabhängig von $a$ ist, und geben Sie diese prozentuale Abweichung an.

%