Problema 3 · Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II PAU Valencia Extraordinaria 2022

a) Su dominio

Solución: $\mathbb{R} \setminus \left\{\frac{1-\sqrt{5}}{2}, \frac{1+\sqrt{5}}{2}\right\}$

a) Los puntos de corte con los ejes coordenados

Solución: $(0, 4)$, $\left(-\frac{2}{3}, 0\right)$, $(2, 0)$

b) La asíntota horizontal

Solución: $y = 3$

b) Las asíntotas verticales

Solución: $x = \frac{1-\sqrt{5}}{2} \approx -0{,}6180$; $x = \frac{1+\sqrt{5}}{2} \approx 1{,}6180$

c) Los intervalos de crecimiento

Solución: $\left(-\infty, -2\right) \cup \left(0, \frac{1+\sqrt{5}}{2}\right) \cup \left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}, +\infty\right)$

c) Los intervalos de decrecimiento

Solución: $\left(-2, \frac{1-\sqrt{5}}{2}\right) \cup \left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}, 0\right)$

d) Los máximos locales

Solución: Máximo local en $x = -2$, con $f(-2) = \frac{16}{5} = 3{,}2$ (punto $(-2, 3{,}2)$)

d) Los mínimos locales

Solución: Mínimo local en $x = 0$, con $f(0) = 4$ (punto $(0, 4)$)

e) La representación gráfica de la función a partir de los resultados anteriores

Solución: La gráfica presenta una asíntota horizontal en $y = 3$, asíntotas verticales en $x = \frac{1-\sqrt{5}}{2} \approx -0{,}62$ y $x = \frac{1+\sqrt{5}}{2} \approx 1{,}62$, cortes en $(0, 4)$, $(-2/3, 0)$ y $(2, 0)$, un máximo local en $(-2, 3{,}2)$ y un mínimo local en $(0, 4)$.