Pregunta 1 - Apartado A · Dibujo técnico II PAU Valencia Ordinaria solapamiento 2025

Apartado A. Dados los puntos A, B e I, siendo AB el lado de un triángulo e I el incentro del mismo, construya el triángulo ABC. Si además consideramos I como el centro de una homología de eje E, obtenga el triángulo homólogo, sabiendo que B' el homólogo del punto B está contenido en la recta m dada.

Solución: 1. Construcción del triángulo ABC (0,7 p.): - Unir $A$ con $I$ y $B$ con $I$; estas rectas son las bisectrices de los ángulos $\widehat{A}$ y $\widehat{B}$ del triángulo. - Trazar desde $I$ la perpendicular al segmento $AB$ para determinar el punto de tangencia y el radio $r$ de la circunferencia inscrita, y dibujarla. - Trazar las rectas simétricas al lado $AB$ respecto de las bisectrices $AI$ y $BI$ (o las tangentes a la circunferencia inscrita desde $A$ y desde $B$). La intersección de ambas rectas determina el vértice $C$, completando el triángulo $ABC$. 2. Obtención del triángulo homólogo A'B'C' (0,8 p.): - Centro de homología: $I$; eje de homología: $E$. - Como $B'$ debe estar alineado con $I$ y $B$ y además pertenecer a la recta $m$, se halla $B' = IB \cap m$. - Como el vértice $A$ está situado sobre el eje de homología $E$, es un punto doble: $A' \equiv A$. - Para hallar $C'$: la recta $BC$ corta al eje $E$ en un punto doble $1 \equiv 1'$. La recta homóloga $(BC)'$ pasa por dicho punto doble y por $B'$. Por tanto, el punto $C'$ se obtiene en la intersección de la recta $IC$ con la recta $1'B'$ ($C' = IC \cap 1'B'$). - Unir $A'$, $B'$ y $C'$ para obtener el triángulo homólogo $A'B'C'$.