Problema 8 · Física PAU Navarra Extraordinaria 2023

Definir el campo (intensidad) gravitatorio explicando cada uno de sus términos. Valor de $g_0$. Deducir, de la forma general de la energía potencial, el valor en las proximidades de la superficie ($mgh$).

Solución: 1. Intensidad de campo gravitatorio: Se define como la fuerza gravitatoria por unidad de masa situada en un punto del espacio: $$\vec{g} = \frac{\vec{F}_g}{m} = -G\frac{M_T}{r^2}\vec{u}_r$$ donde $G$ es la constante de gravitación universal ($6{,}67\cdot 10^{-11}\text{ N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$), $M_T$ es la masa de la Tierra, $r$ es la distancia desde el centro de la Tierra al punto y $\vec{u}_r$ es el vector unitario en la dirección radial hacia el exterior. 2. Valor de $g_0$ en la superficie: Para $r = R_T$ (radio terrestre): $$g_0 = G\frac{M_T}{R_T^2} \approx 9{,}8\text{ m/s}^2$$ 3. Deducción de $E_p = mgh$: La energía potencial gravitatoria general con origen en el infinito es: $$E_p(r) = -G\frac{M_T m}{r}$$ Tomando el origen de energía potencial en la superficie terrestre ($E_p(R_T) = 0$), el incremento de energía potencial al elevar una masa $m$ a una altura $h$ es: $$\Delta E_p = E_p(R_T + h) - E_p(R_T) = -G M_T m\left(\frac{1}{R_T + h} - \frac{1}{R_T}\right)$$ $$\Delta E_p = G M_T m \frac{h}{R_T(R_T + h)}$$ Para alturas pequeñas comparadas con el radio terrestre ($h \ll R_T$), podemos aproximar $R_T + h \approx R_T$: $$\Delta E_p \approx G\frac{M_T}{R_T^2} m h = g_0 m h = mgh$$