Ejercicio Segundo Bloque - 1 · Dibujo técnico II PAU Navarra Ordinaria 2025

Dibuja las proyecciones del triángulo equilátero según las condiciones dadas.

Solución: Resolución en sistema diédrico: 1. Vértices $A$ y $B$ sobre la recta $R$: - La recta $R$ está definida por $M(-25, 50, 40)$ y su traza horizontal $H(-55, 10, 0)$. Se trazan sus proyecciones $r'$ y $r''$. - El vértice $A$ pertenece a $R$ y tiene cota $z_A = 10\text{ mm}$. Se localiza $A''$ en $r''$ a cota 10, y se baja la línea de referencia a $r'$ para hallar $A'$. Sus coordenadas son $A(-47.5, 20, 10)$. - Como $M$ es el punto medio del segmento $AB$, el vértice $B$ se obtiene por simetría central de $A$ respecto de $M$ ($B = 2M - A$): $$x_B = 2(-25) - (-47.5) = -2.5$$ $$y_B = 2(50) - 20 = 80$$ $$z_B = 2(40) - 10 = 70$$ Por tanto, $B(-2.5, 80, 70)$. 2. Vértice opuesto $C$ (en el primer bisector y menor cota): - La verdadera magnitud del lado $l = AB$ es $\sqrt{(45)^2 + (60)^2 + (60)^2} = \sqrt{2025 + 3600 + 3600} = \sqrt{9225} \approx 96.05\text{ mm}$. - La altura del triángulo equilátero es $h = l\frac{\sqrt{3}}{2} \approx 83.18\text{ mm}$. - El punto $C$ se encuentra en el plano mediador del segmento $AB$ (plano perpendicular a $R$ por $M$) y en el primer bisector ($y_C = z_C$). - La intersección del plano mediador con el primer bisector da una recta, sobre la cual los puntos a distancia $h$ de $M$ (o a distancia $l$ de $A$ y $B$) determinan dos posibles posiciones para $C$. Se elige la solución que tiene menor cota $z_C$. 3. Proyecciones del triángulo $ABC$: - Se unen las proyecciones homónimas $A'B'C'$ y $A''B''C''$ para obtener la proyección horizontal y vertical del triángulo equilátero.