Ejercicio B1 · Dibujo técnico II PAU Madrid Modelo 2023

Exponer razonadamente el fundamento de la construcción empleada.

Solución: Los parámetros de la elipse están determinados al conocerse $2c = F_1F_2$ y $2a = PF_1 + PF_2$, lo que permite determinar sus vértices, con $a = B_1F_1 = B_1F_2 = B_2F_1 = B_2F_2$. La afinidad de la elipse con la circunferencia principal permite hallar los puntos de intersección I y J requeridos como homólogos de los de intersección con la circunferencia, siendo aquí $r = r'$. Alternativamente, puede considerarse que los puntos I y J son centros de circunferencias tangentes al eje $e = A_1A_2$ en $F_2$ y a la circunferencia focal $f_1$ en $F$, y por lo tanto dobles en la inversión que transforma $e$ en $f_1$.

Determinar los puntos de intersección de la recta r con la elipse de focos F₁ y F₂ que pasa por el punto P.

Solución: Construcción geométrica: 1. Hallar $2a = PF_1 + PF_2$ sumando los radios vectores del punto $P$. 2. Con centro en el punto medio del segmento $F_1F_2$ (centro de la elipse) se sitúan los vértices del eje mayor $A_1$ y $A_2$ a distancia $a$. 3. Con centro en los focos y radio $a$ se trazan arcos cuya intersección determina los extremos del eje menor $B_1$ y $B_2$. 4. Mediante la afinidad entre la elipse y la circunferencia principal de diámetro $2a$, o bien mediante la circunferencia focal con centro en $F_1$ y radio $2a$, se obtienen los puntos de intersección $I$ y $J$ de la recta $r$ con la elipse.