Ejercicio A1 · Dibujo técnico II PAU Madrid Modelo 2023

A1.- Hallar tres cincunferencias tangentes a la recta r y a los arcos de circunferencia c₁ y c₂, determinando los puntos de tangencia.

Solución: Construcción geométrica de las tres circunferencias solución: - Circunferencia concéntrica media entre $c_1$ y $c_2$ de radio $R_m = \frac{R_1 + R_2}{2}$, lugar geométrico de los centros de las circunferencias tangentes interiores a $c_1$ y exteriores a $c_2$. - Rectas paralelas a $r$ trazadas a una distancia igual al radio de las circunferencias solución ($r_{\text{sol}} = \frac{R_1 - R_2}{2}$). - La intersección de las dos paralelas a $r$ con la circunferencia media determina los centros de las soluciones (tres puntos en este caso). - Trazado de las tres circunferencias de radio $r_{\text{sol}}$ y localización de los puntos de tangencia $T_i^1$ (en $c_1$), $T_i^2$ (en $c_2$) y $T_i^r$ (en $r$).

Exponer razonadamente el fundamento de la construcción empleada.

Solución: Al ser concéntricas las circunferencias c1 y c2, el diámetro de las circunferencias solución es constante e igual a la diferencia de sus radios (R1 - R2). Por tanto, los centros de las circunferencias tangentes a ambos arcos pertenecen a una circunferencia concéntrica de radio medio (R1 + R2)/2. Al ser además tangentes a la recta r, sus centros deben distar de r una distancia igual al radio solución (R1 - R2)/2, por lo que se hallan en la intersección de la circunferencia de centros con las dos rectas paralelas a r situadas a dicha distancia.