Ejercicio 1.2 · Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II PAU La Rioja Extraordinaria 2022

Usamos una balanza de brazos muy sensible para pesar tres tipos de piezas (A, B y C) comparando su peso con el de una barrita que sabemos que pesa 13 gramos. Todas las piezas de un mismo tipo pesan igual. Descubrimos que:

La barrita pesa lo mismo que una pieza C y dos piezas B juntas;

tres piezas A pesan lo mismo que dos piezas B;

una pieza C pesa lo mismo que dos piezas A y una pieza B.

1.2.– Una matriz cuadrada $A$ se dice idempotente si $A^2 = A$.

(i)

Estudia si hay matrices idempotentes $2 \times 2$ que sean de la forma $\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ a & b \end{pmatrix}$ o de la forma $\begin{pmatrix} 2 & b \\ a & 1 \end{pmatrix}$. En cada caso debes indicar, si la respuesta es afirmativa, el valor de $a$ y $b$. [2 puntos]

¿Existe?

$a =$

$b =$

(ii)

Si una matriz $A$ es idempotente, calcula su potencia $A^{2022}$. [0.5 puntos]

$A^{2022} =$