Problema 1 · Matemáticas II PAU Castilla-La Mancha Ordinaria 2022

Enunciado

1. a) [1,5 puntos] Encuentra todas las matrices $X$ que conmutan con la matriz

$A = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 1 & -1 \end{pmatrix},$

es decir, que verifican que $AX = XA$ .

Escribe la forma o condiciones generales que deben cumplir las matrices $X = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ o explica su deducción:

b) [1 punto] ¿Existe alguna matriz simétrica que conmute con $A$ y cuyo determinante valga 4?

Sí

Enunciado: Problema 1 · Matemáticas II PAU Castilla-La Mancha Ordinaria 2022

Según los criterios oficiales de corrección

a) [1,5 puntos] Encuentra todas las matrices X que conmutan con la matriz A = ((2, 0), (1, -1)), es decir, que verifican que AX = XA.

Solución: $b = 0$ y $a - 3c - d = 0$ (o equivalentemente, $X = \begin{pmatrix} 3c+d & 0 \\ c & d \end{pmatrix}$ con $c, d \in \mathbb{R}$ )

¿Existe alguna matriz simétrica que conmute con A y cuyo determinante valga 4?

Solución: Sí

b) [1 punto] ¿Existe alguna matriz simétrica que conmute con A y cuyo determinante valga 4?

Solución: Sí, existen dos matrices: $X = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$ y $X = \begin{pmatrix} -2 & 0 \\ 0 & -2 \end{pmatrix}$

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