Pregunta 3. Opción A · Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II PAU Asturias Ordinaria 2025

Tema: Sistemas de ecuaciones con parámetro: planteamiento, discusión e interpretación · Del examen Ordinaria (2025)

Enunciado

Pregunta 3. Opción A En una de las atracciones hay dos tipos de pases, el pase VIP y el normal, sus precios son, respectivamente, «xx» e «yy». Un grupo de personas pagó, en total, 90 € cuando compró un pase VIP y tres pases normales, mientras que otro grupo de personas pagó 15m15m € por comprar dos pases VIP y mm pases normales. Para determinar el precio de cada pase, se utiliza el siguiente sistema de ecuaciones:

{x+3y=902x+my=15m\begin{cases} x + 3y = 90 \\ 2x + my = 15m \end{cases}

a)

Si m=15m = 15, ¿cuál fue el precio de cada tipo de pase? [1 punto]

b)

Proporciona un valor de mm para el cual el sistema tenga solución, pero esa solución carezca de sentido en el contexto del problema. Justifica tu respuesta. [1 punto]

c)

¿Para qué valor de mm el sistema no tiene solución? Justifica tu respuesta. [0.5 puntos]

Enunciado: Pregunta 3. Opción A · Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II PAU Asturias Ordinaria 2025

Solución

Según los criterios oficiales de corrección

a) Precio del pase VIP (x):

Solución: 75 € / 75 €/pase

a) Precio del pase normal (y):

Solución: 5 € / 5 €/pase

b) Proporciona un valor de m para el cual el sistema tenga solución, pero esa solución carezca de sentido en el contexto del problema.

Solución: 1 / 2 / 3 / 4 / 5 / -1 / 0

b) Justificación del valor de m elegido:

Solución: Para m != 6 el sistema es compatible determinado con x = 45m/(m-6) e y = (15m-180)/(m-6). Si elegimos un valor como m = 1 (o cualquier m entre 0 y 6), x < 0, lo cual no tiene sentido al ser un precio. Si m <= 0, tampoco tiene sentido porque m es el número de pases comprados.

c) ¿Para qué valor de m el sistema no tiene solución?

Solución: 6

c) Justificación de por qué el sistema no tiene solución para dicho valor de m:

Solución: Para m = 6, el rango de la matriz de coeficientes A es 1, mientras que el rango de la matriz ampliada A' es 2. Como ran(A) < ran(A'), según el teorema de Rouché-Fröbenius el sistema es incompatible.

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