Examen de Estadística Majors de 25 anys (Catalunya) 2026 · Tribunal ordinari

PART 1

Responeu a QUATRE de les cinc qüestions proposades. [4 punts: 1 punt per cada qüestió]

Qüestió 1

En una regressió lineal s'obté la recta $Y = -2 + 3X$. Podem afirmar que la relació entre les dues variables és inversa?

Qüestió 2

Quin (o quins) dels gràfics següents no s'utilitza per a representar una variable qualitativa: histograma, gràfic de sectors o diagrama de caixa i bigotis ( box plot)?

¿Cuál (o cuáles) de los siguientes gráficos no se utiliza para representar una variable cualitativa: histograma, gráfico de sectores o diagrama de caja y bigotes ( box plot)?

En la taula següent, és cert que la moda pren el valor 12? Justifiqueu la resposta.

$X_i$

$n_i$

5

5

17

8

25

10

34

12

48

10

Sí / Cert

No / Fals

Qüestió 4

En la taula següent, quina és l'amplitud de la variable? L'amplitud és una mesura de posició o de dispersió?

$X_i$

$n_i$

5

5

17

8

25

10

34

12

48

10

Qüestió 5

Si una variable $X$ té una mitjana igual a 5 i una variància igual a 25, quin és el seu coeficient de variació?

Un ajuntament vol analitzar el nombre de sinistres de trànsit que es produeixen a la ciutat. Per fer-ho, ha comptabilitzat el nombre diari de sinistres en els darrers trenta dies. La taula següent mostra la informació recollida sobre la variable nombre diari de sinistres:

Nombre diari de sinistres

$X_i$

Dies

$n_i$

0 · 1

1 · 10

2 · 8

3 · 7

4 · 4

a)

Calculeu la mitjana aritmètica, la variància i la desviació estàndard de la variable nombre diari de sinistres. [1,5 punts]

b)

Quin ha estat el nombre de sinistres en els darrers trenta dies? [0,5 punts]

c)

Quin és el percentatge de dies en què hi ha hagut dos o tres sinistres? [0,5 punts]

%

d)

Calculeu la mediana de la variable nombre diari de sinistres. [0,5 punts]

Una empresa vol analitzar la possible relació que hi ha entre l'edat dels seus treballadors (en anys) (variable $X$) i el nombre de dies de baixa per malaltia en un trimestre (variable $Y$). La informació recollida, corresponent a 40 treballadors, és la següent:

Edat dels treballadors ($X$)

$(L_{i-1}, L_i]$

Dies de baixa ($Y$)

$L_{i-1}$

$L_i$

0

1

2

3

20

30

5

2

1

0

30

40

0

5

5

0

40

50

0

0

8

2

50

60

0

0

5

7

A més, disposem de les dades següents:

Mitjana

Variància

$X$

41,5

122,75

$Y$

1,8

0,86

a)

Obtingueu les distribucions marginals de $X$ i de $Y$. [0,8 punts]

$c_i$

$n_i$

25

35

45

55

$y_j$

$n_j$

0

1

2

3

b)

Obtingueu la covariància entre les dues variables. La relació entre les dues variables és directa o inversa? [1 punt]

Directa

Inversa

c)

Calculeu el coeficient de correlació lineal i interpreteu el resultat obtingut. [1,2 punts]

El nombre de trucades telefòniques rebudes per un servei d'atenció al client en una hora és una variable aleatòria discreta amb la funció de quantia següent:

$$P(X = x_i) = \frac{4 - x_i}{10},\ \text{per a } x_i = 0, 1, 2, 3.$$

a)

Quina és la probabilitat que es rebi alguna trucada en una hora? [1,5 punts]

b)

Quin és el nombre esperat de trucades en una hora? [1,5 punts]