Examen de Estadística Majors de 25 anys (Catalunya) 2026 · Tribunal especial

PART 1

Responeu a QUATRE de les cinc qüestions proposades. [4 punts: 1 punt per cada qüestió]

Qüestió 1

En una regressió, el coeficient de determinació pot prendre valors entre $a$ i $b$. Quins són aquests valors $a$ i $b$?

Qüestió 2

Quin dels gràfics següents s’utilitza per a representar una variable qualitativa: histograma, gràfic de sectors o núvol de punts?

En la taula següent, és cert que la moda pren el valor 15? Justifiqueu la resposta.

$X_i$

$n_i$

10

5

25

8

30

15

46

12

53

10

Qüestió 4

Si una variable té una mitjana aritmètica igual a 4 i una variància igual a 4, quin és el seu coeficient de variació?

Qüestió 5

Si una variable aleatòria té una distribució normal estàndard, quin valor té la seva variància? I quin valor té la seva mitjana aritmètica?

Una empresa ha registrat els dies de baixa laboral dels seus treballadors en el darrer any. La taula següent mostra la informació recollida sobre la variable dies anuals de baixa:

Dies anuals de baixa

$(L_{i-1}, L_i]$

Nombre de treballadors

$n_i$

0 · 10 · 10

10 · 20 · 20

20 · 30 · 15

30 · 40 · 5

a)

Calculeu la mitjana aritmètica, la variància i la desviació estàndard de la variable dies anuals de baixa. [1,5 punts]

b)

Quin percentatge de treballadors ha estat més de 20 dies de baixa en el darrer any? [0,5 punts]

%

c)

Calculeu la mediana de la variable dies anuals de baixa. [1 punt]

Problema 2

S'ha fet una enquesta a 50 famílies sobre el nombre de compres per Internet que han fet durant l'últim mes. En aquesta enquesta s'ha preguntat sobre les variables següents:

$X$: nombre de compres per Internet a supermercats durant l'últim mes;

$Y$: nombre de compres per Internet d'articles de roba durant l'últim mes.

Les dades recollides són les següents:

$Y$

$X$

0

1

2

3

$Y$

0

0

5

3

2

1

5

11

0

4

2

3

0

3

4

3

2

4

4

0

A més, sabem la informació següent:

Mitjana

Variància

$X$

1,4

1,04

$Y$

1,4

1,04

a)

Determineu les distribucions marginals de $X$ i de $Y$. [0,8 punts]

$X$ · $n_i$

0

1

2

3

$Y$ · $n_i$

0

1

2

3

b)

Obtingueu la covariància entre les dues variables. La relació entre les variables és directa o inversa? [1 punt]

Directa

Inversa

c)

Calculeu el coeficient de correlació lineal i interpreteu el resultat obtingut. [1,2 punts]

En una capsa hi ha vuit boles: dues de blanques, tres de negres i tres de grogues. Traiem una bola de la capsa i ens la guardem a la butxaca. Després traiem una altra bola i també ens la guardem a la butxaca.

a)

Quina és la probabilitat que de les dues boles guardades a la butxaca només una sigui blanca? [1,5 punts]

b)

Quina és la probabilitat que cap de les dues boles guardades a la butxaca sigui negra? [1,5 punts]