Examen de Matemáticas II UB 2023 · parcial - Abril 2023

Pregunta 1. Propagació de l'error relatiu

Considerem les dades experimentals $x = \pi \pm 0{,}2$, $y = 2 \pm 0{,}5$ i $z = 1 \pm 0{,}1$, i la magnitud definida per $E = e^y \cos(xz)$. Fent servir la fórmula de propagació de l'error, determineu el valor aproximat de l'error relatiu de $E$.

Pregunta 2. Aritmètica intervalar

Si les variables pertanyen als intervals $x = 0 \pm \pi$, $y = \frac{1}{4} \pm \frac{1}{4}$ i $z = -\frac{3}{2} \pm \frac{1}{2}$, determineu a quin interval pertany el quocient següent mitjançant operacions d'aritmètica d'intervals:$$\frac{z}{(\cos(x) + 2)^2 - y}$$

Pregunta 3. Resolució de sistema lineal amb arrodoniment

Es vol resoldre el sistema lineal d'equacions següent:$$\begin{pmatrix}0{,}000125 & -3{,}71 \\ 9{,}81 & 5{,}23\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0{,}459 \\ 0{,}164\end{pmatrix}$$Totes les dades tenen tres xifres significatives. Fent servir l'estratègia de càlcul numèric més efectiva possible (pivotatge parcial) i arrodonint a tres xifres significatives en tots els passos intermedis, quin resultat s'obté per a $x$ i $y$?

Pregunta 4. Ajust per mínims quadrats

Volem aproximar els resultats d'un experiment mitjançant una funció del tipus $y = ax + \frac{b}{\sqrt{x}}$. Les dades obtingudes són:

$x$ · 1 · 4 · 9

$y$ · 3 · 0,5 · 3

Deduïu el valor del paràmetre $b$ obtingut per mínims quadrats:

Pregunta 5. Polinomi de Taylor per a una EDO

Sigui $y(x)$ la solució de l'equació diferencial $y'' = -xy$ sotmesa a les condicions inicials $y(0) = 1$ i $y'(0) = 0$. El seu polinomi de Taylor d'ordre 8 centrat a $x_0 = 0$ és:

Pregunta 6. Cota de l'error de Taylor amb Lagrange

Sigui la funció $f(x) = x^2 e^x$ i $p_2(x)$ el seu polinomi de Taylor d'ordre 2 centrat a $x_0 = 1$. Fent servir la fórmula del residu de Lagrange per estimar l'error $|p_2(3) - f(3)|$, quina és la millor cota de l'error obtinguda?

Pregunta 7. Cota de l'error d'interpolació polinomial

Es disposa de la següent taula de valors per a una funció incògnita $f(x)$:

$x$ · 0 · 0,2 · 0,4 · 0,6 · 0,8 · 1 · 1,2

$f(x)$ · 3,9 · 4,2 · 4,6 · 4 · 2,3 · 0,4 · -1,2

S'interpola amb la totalitat d'aquestes dades per aproximar $f(0{,}3)$. Se sap a més que cap derivada d'ordre superior de $f$ no creix més ràpid que les derivades de $3e^{2x}$. Aleshores, l'error comès en avaluar $f(0{,}3)$ es pot fitar per:

Pregunta 8. Polinomi interpolador de diferències dividides

Es donen els punts següents a través d'aquesta taula de valors:

$x$ · -2 · 0 · 1 · 2

$y$ · -15 · -1 · 9/4 · 5

Sigui $p(x)$ el polinomi de grau mínim que interpola aquests quatre nodes. Determineu el valor de $p(4)$.

Pregunta 9. Fórmula de derivació numèrica

Quina de les fórmules següents és vàlida per aproximar numèricament la primera derivada $f'(a)$?

(Indicació: quatre de les opcions són fórmules inútils, ja que no tenen ni ordre 1 i per tant no aproximen $f'(a)$).

Pregunta 10. Extrapolació de Richardson per a la derivada

Considerem la taula següent amb 4 valors d'una funció $f$:

$x$ · -1/2 · -1/4 · -1/8 · 0

$f(x)$ · 3,8 · 2,9 · 2,1 · 1,9

Fent ús de totes les dades disponibles de la forma més òptima possible per estimar el valor de $f'(0)$, s'obté que: