Problema 2 - Estática · Física I UB 2022

Tema: Sòlid rígid: centre de masses, moment d'inèrcia, estàtica i rotació · Del examen Examen final enero 2022 (2022)

Enunciado

Problema 2 (2 puntos). Equilibrio y rodadura de una esfera

Una esfera homogénea se encuentra retenida en reposo sobre un plano inclinado mediante una cuerda tensada dispuesta horizontalmente, tal como se muestra en el esquema:

Nota: Se tomará el eje $x$ paralelo al plano inclinado (apuntando hacia arriba) y el eje $y$ perpendicular al mismo. El momento de inercia de la esfera respecto a un eje que atraviesa su centro de masas es $I = \frac{2}{5} M R^2$ .

Hacer un diagrama de las fuerzas ejercidas sobre la esfera en equilibrio.

Escribir las ecuaciones cardinales que aseguran el equilibrio estático del sistema.

Calcular la tensión de la cuerda ( $T$ ), la fuerza de rozamiento estático ejercida en el punto de contacto ( $f$ o $F_R$ ) y la componente normal de contacto de la rampa ( $N$ ). Expresar las expresiones en función de $M$ , $g$ y $\theta$ .

Enunciado: Problema 2 - Estática · Física I UB 2022

Solución

Según los criterios oficiales de corrección

a. Hacer un diagrama de las fuerzas ejercidas sobre la esfera en equilibrio.

Solución: Diagrama con cuatro fuerzas: peso $M\vec{g}$ actuando en el centro de masas en dirección vertical hacia abajo, la tensión $\vec{T}$ horizontal actuando en el punto superior hacia la derecha, la normal $\vec{N}$ (o $\vec{F}_n$ ) perpendicular al plano en el punto de contacto dirigida hacia el centro, y la fuerza de rozamiento estático $\vec{F}_R$ (o $\vec{f}$ ) paralela al plano inclinado dirigida hacia arriba.

b. Escribir las ecuaciones cardinales que aseguran el equilibrio estático del sistema.

Solución: $\begin{aligned} x: & \quad F_R - Mg\sin\theta + T\cos\theta = 0 \\ y: & \quad N - Mg\cos\theta - T\sin\theta = 0 \\ z: & \quad RT - RF_R = 0 \end{aligned}$

c. Calcular la tensión de la cuerda ( $T$ )

Solución: $T = Mg\frac{\sin\theta}{1+\cos\theta}$

c. Fuerza de rozamiento estático ejercida en el punto de contacto ( $f$ o $F_R$ )

Solución: $F_R = Mg\frac{\sin\theta}{1+\cos\theta}$

c. Componente normal de contacto de la rampa ( $N$ )

Solución: $N = Mg$

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Problema 2 - Estática · Física I UB 2022

Enunciado

Solución

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