Examen de Física I UB 2022 · final enero 2022

Cuestión 1 (1 punto). Movimiento armónico simple

Un cuerpo fijado a un muelle realiza oscilaciones armónicas simples caracterizadas por un período $T$. Se pide determinar:

a.

La ley temporal de la velocidad del bloque, sabiendo que en el instante inicial $t = 0$ su velocidad alcanza el valor máximo positivo $v^{\text{max}}$. Dar el resultado expresado en función de $T$ y $v^{\text{max}}$.

b.

La posición del bloque en función del tiempo transcurrido, asumiendo que en $t = T/4$ la elongación es máxima ($x = x^{\text{max}}$). Expresar la respuesta en términos de $T$ y $x^{\text{max}}$.

c.

El valor de la constante elástica del resorte en términos del período $T$ y de la masa del bloque $m$.

Cuestión 2 (1 punto). Centro de masas de placas triangulares

A partir del sistema de referencia cartesiano representado en la figura:

a.

Determinar las coordenadas del centro de masas de la estructura constituida por tres triángulos equiláteros homogéneos, poseyendo cada uno de ellos una masa idéntica $m = 1\text{ kg}$ y lados de longitud $L = 1\text{ m}$.

b.

Calcular la posición del nuevo centro de masas al incorporar una masa puntual $m_2 = 2\text{ kg}$ sobre el vértice superior de la estructura triangular.

Cuestión 2 (1 punto). Gravitación y potencial efectivo

Un satélite de masa $m$ se desplaza describiendo una trayectoria orbital circular de radio $r$ en torno a la Tierra (cuya masa es $M$). Se toma como marco de observación el referencial centrado en el planeta.

a)

Hallar el valor de la aceleración y de la velocidad del centro de masas del conjunto formado por la Tierra y el satélite, asumiendo la aproximación $M \gg m$. ¿Resulta inercial (o galileano) el sistema de referencia fijado en el centro terrestre? Justificar la respuesta.

b)

Obtener el módulo de la velocidad orbital $v$ del satélite en función del radio $r$.

c)

Determinar las expresiones de la energía potencial $U(r)$ y de la energía mecánica total $E(r)$ del satélite en función de $r$.

d)

Calcular la magnitud del momento angular $L$ del satélite respecto al centro del planeta en función de $r$, y emplear dicha magnitud para formular el potencial efectivo $U_{\text{eff}}(r)$.

e)

Esbozar cualitativamente la curva de $U_{\text{eff}}(r)$ e indicar sobre ella la posición del radio de la órbita circular, razonando físicamente el resultado.

Cuestión 4 (1 punto). Conservación del momento lineal y patinador

Un patinador de masa $M = 70\text{ kg}$ que porta consigo un martillo de masa $m = 2\text{ kg}$ desliza sobre una superficie helada horizontal exenta de rozamiento con una rapidez de $v_0 = 0{,}5\text{ m/s}$ respecto al suelo. Con el objetivo de ganar velocidad, el patinador proyecta horizontalmente el martillo, alcanzando tras el lanzamiento una velocidad de $v_p = 1\text{ m/s}$ respecto al hielo.

a.

Calcular la velocidad del centro de masas del sistema (patinador + martillo) inmediatamente posterior al lanzamiento.

b.

Determinar el valor de la velocidad con que sale despedido el martillo respecto a la pista de hielo.

c.

Calcular la cantidad de trabajo mecánico ejecutado por el patinador durante la maniobra de lanzamiento.

Problema 1 (2 puntos). Choque inelástico y subida por plano inclinado

Se consideran dos partículas puntuales $A$ y $B$ de masas $m_A = 2\text{ kg}$ y $m_B = 1\text{ kg}$, respectivamente. Los cuerpos se disponen sobre una superficie conformada por dos tramos continuos: uno horizontal caracterizado por un coeficiente de fricción cinética $\mu = 0{,}05$, y un plano inclinado un ángulo $\theta = \pi/3$ con respecto a la horizontal sobre el cual no existe rozamiento alguno, según se ilustra a continuación:

El bloque $A$ avanza hacia la derecha desacelerando por el rozamiento y colisiona de forma completamente inelástica con el bloque $B$, inicialmente en reposo a una distancia de $8\text{ m}$ del pie del plano inclinado. Tras el impacto, ambos continúan unidos hasta ascender por la rampa. Sabiendo que la aceleración debida al rozamiento en el tramo horizontal es $a = 0{,}5\text{ m/s}²$ y que el bloque $A$ llega al punto de impacto tras un tiempo $t = 20\text{ s}$ con una velocidad de $10\text{ m/s}$:

a.

Determinar la velocidad del conjunto formado por ambos bloques justo tras el impacto.

b.

Calcular la velocidad con la que el conjunto alcanza la base del plano inclinado.

c.

Calcular la altura máxima que alcanzan los bloques a lo largo del plano inclinado.

Problema 2 (2 puntos). Equilibrio y rodadura de una esfera

Una esfera homogénea se encuentra retenida en reposo sobre un plano inclinado mediante una cuerda tensada dispuesta horizontalmente, tal como se muestra en el esquema:

Nota: Se tomará el eje $x$ paralelo al plano inclinado (apuntando hacia arriba) y el eje $y$ perpendicular al mismo. El momento de inercia de la esfera respecto a un eje que atraviesa su centro de masas es $I = \frac{2}{5} M R^2$.

a.

Hacer un diagrama de las fuerzas ejercidas sobre la esfera en equilibrio.

b.

Escribir las ecuaciones cardinales que aseguran el equilibrio estático del sistema.

c.

Calcular la tensión de la cuerda ($T$), la fuerza de rozamiento estático ejercida en el punto de contacto ($f$ o $F_R$) y la componente normal de contacto de la rampa ($N$). Expresar las expresiones en función de $M$, $g$ y $\theta$.

Problema 2 (2 puntos). Equilibrio y rodadura de una esfera

Una esfera homogénea se encuentra retenida en reposo sobre un plano inclinado mediante una cuerda tensada dispuesta horizontalmente, tal como se muestra en el esquema:

Nota: Se tomará el eje $x$ paralelo al plano inclinado (apuntando hacia arriba) y el eje $y$ perpendicular al mismo. El momento de inercia de la esfera respecto a un eje que atraviesa su centro de masas es $I = \frac{2}{5} M R^2$.

d.

Se corta repentinamente la cuerda y la esfera inicia un movimiento de rodadura pura sin deslizar rampa abajo. Hallar la nueva fuerza de rozamiento y la aceleración lineal de su centro de masas.

e.

Obtener el módulo de la velocidad del centro de masas cuando la esfera ha descendido una altura vertical $H$.

Problema 3 (2 puntos). Rodadura y dinámica de dos cilindros concéntricos

Un dispositivo está compuesto por dos cilindros macizos concéntricos unidos sólidamente de radios $R_1 = 50\text{ cm}$ y $R_2 = 20\text{ cm}$, situados concéntricamente uno adosado al lado del otro, tal como se muestra en la figura. Las masas respectivas son $m_1 = 2\text{ kg}$ (cilindro grande) y $m_2 = 1\text{ kg}$ (cilindro pequeño). Sobre el cilindro menor se enrolla una cuerda horizontal que tira de él con una tensión constante $T = 8\text{ N}$. La pieza compuesta se desplaza rígidamente rodando sin deslizar el cilindro grande sobre el pavimento horizontal.

Nota: El momento de inercia de un cilindro homogéneo macizo de masa $M$ y radio $R$ respecto de su eje axial de revolución es $I = \frac{1}{2} M R^2$.

a.

Calcular el momento de inercia total del sistema respecto a su eje común de simetría.

b.

Determinar la aceleración lineal del centro del conjunto.

c.

Calcular el valor de la fuerza de fricción generada en el contacto entre el cilindro mayor y el plano horizontal.