Examen de Introducción al Cálculo integral UB 2013 · Punt de Control (Març 2013)

Es considera la següent relació:

$$\lim_{n\to\infty} \left( \frac{\sqrt{1+n} + \sqrt{2+n} + \dots + \sqrt{n+n}}{n\sqrt{n}} \right) = \int_0^1 f(x)\,dx$$

a)

Determineu l'expressió de la funció $f(x)$ emprant la definició formal de la integral de Riemann.

b)

Obtingueu el valor del límit calculant la corresponent integral definida.

Expliqueu de manera raonada per què el càlcul següent és erroni i proposeu la resolució correcta:

$$\int_{-1}^1 \frac{1}{x^2}\,dx = \left[ -\frac{1}{x} \right]_{-1}^1 = -1 - 1 = -2$$

a)

Raoneu per què el càlcul mostrat no és vàlid:

b)

Comportament de la integral impròpia:

c)

Desenvolupeu la resolució correcta dividint la integral al voltant del punt singular:

PROBLEMA 3 (1,5 punts). Estudi d'una funció integral

Es defineix la funció integral:

$$F(x) = \int_{1}^{x^3} \frac{e^t}{\sqrt{t}}\, dt$$

a)

Demostreu que $F(x)$ és una funció estrictament creixent a l'interval $[1, \infty)$. Per fer-ho, calculeu la seva derivada $F'(x)$ i raoneu el seu signe a continuació:

b)

Calculeu el límit:

$$\lim_{x \to \infty} \frac{F(x)}{e^{x^3}}$$

PROBLEMA 4 (2 punts). Càlcul d'una primitiva irracional

Determineu la següent primitiva:$$\int \frac{1}{\sqrt{1 - 2x - 5x^2}}\,dx$$

PROBLEMA 5 (2 punts). Integració d'una funció racional

Calculeu la integral indefinida següent:$$\int \frac{2x^3 - 2x^2 - 2x - 1}{x^4 - x}\,dx$$

PROBLEMA 6 (2 punts). Integració trigonomètrica

Trobeu la primitiva de la següent funció:

$$\int \frac{dx}{4 - 5\sin x}$$