PROBLEMA 2 · Introducción al Cálculo integral UB 2013

Tema: Integrals impròpies i criteris de convergència · Del examen Examen Punt de Control (Març 2013) (2013)

Enunciado

Expliqueu de manera raonada per què el càlcul següent és erroni i proposeu la resolució correcta:

∫−111x2 dx=[−1x]−11=−1−1=−2\int_{-1}^1 \frac{1}{x^2}\,dx = \left[ -\frac{1}{x} \right]_{-1}^1 = -1 - 1 = -2

a)

Raoneu per què el càlcul mostrat no és vàlid:

b)

Comportament de la integral impròpia:

c)

Desenvolupeu la resolució correcta dividint la integral al voltant del punt singular:

Enunciado: PROBLEMA 2 · Introducción al Cálculo integral UB 2013

Solución

Según los criterios oficiales de corrección

Raoneu per què el càlcul mostrat no és vàlid:

Solución: La funció integrand f(x)=1x2f(x) = \frac{1}{x^2} és estrictament positiva i presenta una discontinuïtat asimptòtica no fitada a x=0x = 0, que és un punt interior de l'interval [−1,1][-1, 1]. Per tant, és una integral impròpia de segona espècie i no es pot aplicar Barrow directament.

Comportament de la integral impròpia:

Solución: A) Divergent (+∞)

Desenvolupeu la resolució correcta dividint la integral al voltant del punt singular:

Solución: ∫−111x2 dx=lim⁡M→0−∫−1M1x2 dx+lim⁡m→0+∫m11x2 dx=+∞\int_{-1}^1 \frac{1}{x^2}\,dx = \lim_{M\to 0^-} \int_{-1}^M \frac{1}{x^2}\,dx + \lim_{m\to 0^+} \int_m^1 \frac{1}{x^2}\,dx = +\infty (divergent)

La explicación paso a paso, hecha con IA, es Premium. Premium

Resuélvelo aquí mismo: corrección automática, pistas y solución paso a paso.

Problema 5 · 2010 ›

Más ejercicios de Integrals impròpies i criteris de convergència