PROBLEMA 3 · Introducción al Cálculo integral UB 2013

Tema: Teorema fonamental del càlcul, regla de Barrow i teorema del valor mitjà integral · Del examen Examen Punt de Control (Març 2013) (2013)

Enunciado

PROBLEMA 3 (1,5 punts). Estudi d'una funció integral

Es defineix la funció integral:

F(x)=∫1x3ett dtF(x) = \int_{1}^{x^3} \frac{e^t}{\sqrt{t}}\, dt

a)

Demostreu que F(x)F(x) és una funció estrictament creixent a l'interval [1,∞)[1, \infty). Per fer-ho, calculeu la seva derivada F′(x)F'(x) i raoneu el seu signe a continuació:

b)

Calculeu el límit:

lim⁡x→∞F(x)ex3\lim_{x \to \infty} \frac{F(x)}{e^{x^3}}

Enunciado: PROBLEMA 3 · Introducción al Cálculo integral UB 2013

Solución

Según los criterios oficiales de corrección

a) Expressió de la derivada F′(x)F'(x)

Solución: 3x ex33\sqrt{x}\,e^{x^3}

a) Demostreu que F(x)F(x) és una funció estrictament creixent a l'interval [1,∞)[1,\infty).

Solución: F′(x)>0F'(x) > 0 per a tot x∈[1,∞)x \in [1, \infty)

b) Calculeu el límit: lim⁡x→∞F(x)ex3\lim_{x \to \infty} \frac{F(x)}{e^{x^3}}

Solución: 00

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