Examen de Introducción al Cálculo integral UB 2010 · control: Càlcul integral (març 2010)

PROBLEMA 1 (2 punts). Límit d'una suma mitjançant la integral definida

Calculeu el límit següent expressant-lo com a límit d'un sumatori de Riemann i transformant-lo en una integral definida:

$$\lim_{n\to\infty} \frac{1 + \sqrt{2} + \sqrt{3} + \cdots + \sqrt{n}}{n\sqrt{n}}$$

PROBLEMA 2 (1.5 punts). Derivació d'una funció integral

Trobeu la derivada de la funció integral $F(x) = \int_1^{\sin x} t^2\,dt$ fent servir dos procediments diferents:

a.

Aplicant el teorema fonamental del càlcul juntament amb la regla de la cadena.

b.

Resolent prèviament la integral definida i derivant posteriorment el resultat obtingut.

PROBLEMA 3 (2 punts). Teorema del valor mitjà per al càlcul integral

Enuncieu el teorema del valor mitjà integral i determineu el valor del punt $\alpha \in [1, 4]$ que verifica aquest teorema per a la integral següent:

$$\int_1^4 \frac{1}{\sqrt{x}}\,dx$$

a)

b)

PROBLEMA 4 (3 punts). Càlcul de primitives

Calculeu les següents integrals indefinides:

a.

$$\int (\ln x)^2\,dx$$

PROBLEMA 4 (3 punts). Càlcul de primitives

Calculeu les següents integrals indefinides:

b.

Calculeu la següent integral indefinida: $$\int \frac{5x+3}{3x^2+4x+2}\,dx$$

c.

Calculeu la següent integral indefinida: $$\int \frac{\sin^2 x}{1+\cos^2 x}\,dx$$

PROBLEMA 5 [1,5 punts]. Integral impròpia de segona espècie

Classifiqueu la integral impròpia següent indicant de quina espècie és i avalueu la seva convergència o divergència calculant el seu valor:

$$\int_{1}^{2} \frac{1}{x \ln x}\, dx$$