Examen de Física UB 2021 · Juny

Qüestió 1 (5/14 punts). Equilibri electrostàtic de tres càrregues

Tenim dues càrregues puntuals fixes, $q_1$ a $x = 0$ i $q_2$ a $x = d$, al llarg de l'eix d'abscisses com s'il·lustra a l'esquema:

Si col·loquem una càrrega addicional $q_3$ amb llibertat de moviment en el punt $x = 2d$ i aquesta roman en repòs en equilibri electrostàtic, quina relació han de complir $q_1$ i $q_2$?

Qüestió 2 (5/14 punts). Camp nul en cilindres coaxials

Es disposa de dues closques cilíndriques coaxials molt extenses de radis $a$ i $3a$ amb distribucions superficials homogènies de càrrega $\sigma_A$ i $\sigma_B$, respectivament. Si el camp elèctric a l'exterior del conjunt ($r > 3a$) s'anul·la completament, quin valor pren la raó $\sigma_A/\sigma_B$?

Qüestió 3 (5/14 punts). Moviment de càrrega en superfícies equipotencials

A la següent gràfica es representen les superfícies equipotencials d'un determinat camp electrostàtic:

Si abandonem una càrrega positiva puntual $q$ en repòs en la posició $(2, 3)\text{ m}$, quin serà el seu comportament dinàmic immediat?

Qüestió 4 (5/14 punts). Esfera conductora connectada a terra

Considereu una esfera conductora de radi $R$ unida a terra i sotmesa a l'acció d'una càrrega puntual positiva $q$ situada a una distància $d$ del seu centre $O$:

Trieu l'afirmació correcta:

Qüestió 5 (5/14 punts). Densitats de càrrega en escorça esfèrica

Una closca esfèrica conductora de radi intern $a$ i radi extern $b$ té una càrrega total neta de $+Q$. Al centre de la seva cavitat es col·loca una càrrega puntual idèntica $+Q$. Quines seran les densitats superficials de càrrega $\sigma_a$ i $\sigma_b$ en equilibri?

Qüestió 6 (5/14 punts). Camps i corrent en un circuit continu

Un circuit de corrent continu tancat està format per una font d'alimentació de força electromotriu amb resistència interna $r$ i un conductor resistiu extern de resistència $R$. Identifiqueu la proposició incorrecta:

Qüestió 7 (5/14 punts). Velocitat de deriva d'electrons de conducció

Un cable conductor d'1 m de llargada i secció circular constant d'1 mm² transporta un corrent elèctric d'1 A. Considerant una densitat d'electrons de conducció de $10^{29}\text{ m}^{-3}$ i la càrrega elemental $e = 1{,}6 \cdot 10^{-19}\text{ C}$, quina és la velocitat mitjana de deriva dels portadors?

Qüestió 8 (5/14 punts). Diferència de potencial en circuit de diverses malles

En el circuit que mostra la figura, les resistències valen $R_1 = 2\ \Omega$, $R_2 = 1\ \Omega$ i $R_3 = 3\ \Omega$, mentre que les forces electromotrius de les fonts són $\mathcal{E}_1 = 9\ \text{V}$, $\mathcal{E}_2 = 12\ \text{V}$ i $\mathcal{E}_3 = 6\ \text{V}$ (totes amb resistència interna menyspreable):

Calculeu la diferència de potencial $V_a - V_b$ entre els nodes indicats:

A la figura es presenten les seccions transversals de tres conductors rectilinis i paral·lels que porten intensitats del mateix valor amb el sentit indicat (el superior entra cap al pla del paper, el de l'esquerra surt cap a l'observador i el de la dreta entra):

Indiqueu el número del vector que millor descriu:

a.

El camp magnètic total generat pels dos primers fils sobre la posició del fil inferior dret.

A la figura es presenten les seccions transversals de tres conductors rectilinis i paral·lels que porten intensitats del mateix valor amb el sentit indicat (el superior entra cap al pla del paper, el de l'esquerra surt cap a l'observador i el de la dreta entra):

Indiqueu el número del vector que millor descriu:

b.

La força magnètica resultant exercida sobre el fil inferior dret.

Considerem dos corrents rectilinis infinits d'igual intensitat $I$ paral·lels a l'eix $z$. El primer passa per $(0, +a, 0)$ en el sentit positiu de $z$ i el segon per $(0, -a, 0)$ en sentit contrari (negatiu de $z$). Quina de les següents afirmacions sobre la circulació del camp magnètic al llarg d'una circumferència situada al pla $xy$ és correcta?

Qüestió 11 (5/14 punts). Efecte de la força magnètica sobre espira circular

Tenim una espira circular per la qual circula un corrent elèctric en sentit horari, immersa en un camp magnètic uniforme $\vec{B}$ dirigit cap a l'interior del pla de la pàgina com s'aprecia a la figura:

Com actua la força magnètica neta sobre l'espira?

Qüestió 13 (5/14 punts). Refracció, angle de Brewster i angle crític

A la il·lustració es mostra la trajectòria d'un raig lluminós que incideix des d'un medi amb $n_1 = 1{,}6$ sobre un segon medi de $n_2 = 1{,}3$ amb un angle d'incidència $i_1$, verificant-se que el raig reflectit i el refractat formen un angle de $90^\circ$. Posteriorment, el feix incideix sobre un tercer medi d'índex de refracció unitari ($n_3 = 1$) sota l'angle crític de reflexió total $i_c$:

Trobeu els valors dels angles $i_1$ i $i_c$:

.

Qüestió 14 (5/14 punts). Formació d'imatges en mirall còncau

Situem un objecte real davant d'un mirall còncau a una distància inferior a la seva distància focal (entre el focus i el vèrtex del mirall). Quina de les afirmacions següents és correcta?

Qüestió 15 (5/14 punts). Condició d'interferència en doble escletxa de Young

El dispositiu de doble escletxa de Young (escletxes P i Q) produeix el patró d'interferència mostrat a la figura. Els camins òptics des de P i Q fins al punt X sobre la pantalla valen $n\lambda$ i $(n+2)\lambda$ respectivament, essent $n$ un nombre enter i $\lambda$ la longitud d'ona de la llum emprada:

Assignant l'ordre zero al màxim central, quin tipus de franja es forma exactament en el punt X?

Problema 1. Camp elèctric discontinu i distribucions de càrrega

Un camp elèctric amb simetria esfèrica ve definit per l'expressió per regions següent:

$$\vec{E}(r) = \begin{cases} E_0 \frac{r}{R} \vec{a}_r & 0 \le r \le R \\ 0 & r > R \end{cases}$$ on $E_0$ i $R$ són constants positives, i $\vec{a}_r$ representa el vector unitari en direcció radial en coordenades esfèriques.

a)

Feu una representació gràfica de la magnitud $E(r)$ a tot l'espai i raoneu la seva continuïtat.

b)

Determineu la càrrega elèctrica neta $Q(r)$ continguda a l'interior d'una esfera de radi $r$ per a qualsevol valor de $r$.

c)

Es pot deduir dels apartats previs la presència d'una densitat superficial de càrrega $\sigma$? En cas afirmatiu, indiqueu-ne la posició geomètrica i trobeu-ne el valor exacte.

Problema 1. Camp elèctric discontinu i distribucions de càrrega

Un camp elèctric amb simetria esfèrica ve definit per l'expressió per regions següent:

$$\vec{E}(r) = \begin{cases} E_0 \frac{r}{R} \vec{a}_r & 0 \le r \le R \\ 0 & r > R \end{cases}$$ on $E_0$ i $R$ són constants positives, i $\vec{a}_r$ representa el vector unitari en direcció radial en coordenades esfèriques.

d)

Calculeu la funció potencial elèctric $V(r)$ a tots els punts de l'espai adoptant la referència habitual a l'infinit ($V(\infty) = 0$).

e)

Quin treball extern cal fer per traslladar un electró ($q = -1{,}6\cdot 10^{-19}\text{ C}$) des de l'infinit fins a la superfície $r = R$?

Problema 2 (5/3 punts). Força electromotriu induïda i força de Lorentz en espira mòbil

Una espira quadrada de costat $a$ i resistència elèctrica òhmica $R$ es mou amb velocitat constant $\vec{v}$ sobre el pla de la pàgina cap a una regió on existeix un camp magnètic uniforme $\vec{B}$ perpendicular i dirigit cap enfora:

a)

Trobeu la magnitud i el sentit de circulació del corrent induït en l'espira en les següents tres etapes:

• Quan l'espira encara és a l'exterior de la regió amb camp magnètic:

• Mentre l'espira està entrant en la zona amb camp magnètic:

• Quan l'espira ja es troba completament immersa en la zona amb camp magnètic:

b)

Per a cadascun dels tres intervals, calculeu el valor i la direcció de la força magnètica que actua sobre cadascun dels quatre segments de l'espira, així com la força total resultant.

• A l'exterior i completament a l'interior:

• Mentre està entrant a la zona de camp magnètic:

Problema 3 (5/3 punts). Paràmetres i imatges d'una lent prima planoconvexa

Col·loquem un objecte a una distància de 20 cm davant d'una lent prima planoconvexa que té una potència de 10 diòptries i un índex de refracció de $n = 1{,}6$.

a)

Determineu el radi de curvatura de la cara esfèrica de la lent.

b)

Trobeu la posició de la imatge formada i descriviu les seves característiques (real o virtual, dreta o invertida), així com l'augment lateral.

c)

Si es fa servir la mateixa lent com a lupa, a quina distància de la lent s'hauria de situar l'objecte per tal d'obtenir una imatge virtual i el doble de gran que l'objecte?

d)

Dibuixeu el diagrama de traçat de raigs corresponent a les configuracions dels apartats b) i c).