Examen de Matemática Aplicada y Bioestadística UB 2018 · Parcial - Tardor 2018 (Tarda)

Pregunta 1 (25/8 punts). Extrems relatius de funcions de dues variables

Sigui la funció de dues variables $f(x, y) = 2x^3 + y^2 - 6xy$. Quina de les afirmacions següents és correcta?

Pregunta 2 (25/8 punts). Desviació típica d'una mostra quantitativa

Considerant les observacions d'una variable quantitativa corresponents a la mostra:

2.5, 3.1, 2.3, 3.3, 2.7

Indiqueu quina de les opcions següents descriu la seva desviació típica:

Pregunta 3 (25/8 punts). Pla tangent a una superfície

Determineu l'equació del pla tangent a la gràfica de la funció $f(x, y) = x^2 + y^2 - 6x + 1$ en el punt $(1, 1)$ del seu domini (on $z = -3$):

Pregunta 4 (25/8 punts). Càlcul de primitives i integració

Quina de les integrals següents té per resultat la funció primitiva $F(x) = \arctan(\sin x) + C$?

.

Pregunta 5 (25/8 punts). Derivada direccional d'un camp escalar

Trobeu la derivada direccional de la funció $f(x,y) = 2x^3 + 6y - 3xy$ en la direcció del vector $(1, 1)$ al punt $(0, 1)$. Recordeu que el vector $(1, 1)$ no és unitari.

.

Pregunta 6 (25/8 punts). Punts d'inflexió d'una funció polinòmica

La funció $f(x) = x^3 - \frac{3}{2}x^2 - 6x + 9$ presenta un punt d'inflexió a:

.

Pregunta 7 (25/8 punts). Volum d'un sòlid de revolució

El volum generat en girar al voltant de l'eix $OX$ la regió sota la gràfica de la funció $f(x) = \sqrt{\sin^3 x}$ entre $x = 0$ i $x = \pi$ és:

.

Pregunta 8 (25/8 punts). Model de desintegració radioactiva

La quantitat $Q(t)$ d'un isòtop radioactiu present en una mostra mineral satisfà l'equació diferencial $Q'(t) = -kQ(t)$, sent $k > 0$ una constant característica. Se sap que el període de semidesintegració (semivida) d'aquest element és $\tau = 646$ anys (temps necessari perquè es desintegri la meitat de la quantitat inicial). Transcorreguts 1500 anys, quin percentatge del mineral radioactiu s'haurà desintegrat?