Examen de Matemática Aplicada y Bioestadística UB 2018 · final. Matemàtica Aplicada i Bioestadística (Gener 2018)

Pregunta 1. Extrems relatius d'una funció de dues variables

Es considera la funció escalar definida per $f(x, y) = (x^2 + y^2 - 1)^2$. Respecte al comportament d'aquesta funció al punt $(0, 0)$ del seu domini:

Pregunta 2. Càlcul de primitiva amb condició de contorn

Sigui $F(x)$ una funció primitiva de $f(x) = \sin^4 x \cos x$ que satisfà la condició $F(\pi/2) = 1$. Quin és el valor de $F(0)$?

Pregunta 3. Càlcul d'àrea compresa entre gràfiques

Determineu l'àrea del recinte pla limitat per les corbes $f(x) = x^2$ i $g(x) = -x^2 + 1$ entre els seus dos punts d'intersecció:

Pregunta 4. Derivada direccional d'un camp escalar

Calculeu la derivada direccional de la funció $f(x, y) = x^3 + x^2 y^3 - 2y^2$ al punt $P = (2, 1)$ seguint la direcció del vector unitari $\vec{v} = \left(-\frac{1}{\sqrt{5}}, \frac{2}{\sqrt{5}}\right)$:

Pregunta 5. Resolució d'una equació diferencial ordinària

Trobeu la solució particular de l'equació diferencial lineal de primer ordre $y' + (\sin t)y = te^{\cos t}$ que verifica la condició inicial $y(0) = 1$:

Pregunta 6. Càlcul de derivades mitjançant la regla de la cadena

Suposant que $f(1) = \pi/4$, $f'(1) = \sqrt{2}$ i que es defineix $g(x) = (\sin[f(x)])^3$, quin és el valor de la derivada $g'(1)$?

Pregunta 7. Domini d'una funció amb arrels i logaritmes

El domini de definició de la funció $f(x) = \sqrt{\ln\left(\ln\frac{1}{x}\right)}$ correspon a l'interval:

.

Pregunta 8. Interpretació del model de regressió lineal simple

Indiqueu quina de les següents asseveracions sobre regressió lineal és correcta:

.

Pregunta 9. Càlcul i interpretació de l'Odds Ratio en un estudi cas-control

Un estudi de casos i controls proporciona les freqüències recollides a la següent taula de contingència:

· Grup 1 · Grup 2 · Total

Casos · 585 · 720 · 1305

Controls · 760 · 411 · 1171

Total · 1345 · 1131 · 2476

Aleshores, a un nivell de confiança del 95%:

.

Pregunta 10. Distribució binomial en control de qualitat

En una cadena de producció es coneix que el 30% de les ampolles bebles d'un fàrmac són no conformes. Si s'extreu a l'atzar una mostra de 15 ampolles, quina és la probabilitat de trobar 3 o més ampolles que no compleixin els requisits de conformitat?

Pregunta 11. Interpretació de taula d'anàlisi de la variància (ANOVA)

A partir de la informació parcial de la següent taula ANOVA:

Origen

SQ

Graus llib.

Entre grups

420

2

Dintre grups

625

12

Assenyaleu la deducció correcta:

Pregunta 12. Percentil del 97,5% en una distribució normal

La longitud que assoleix una planta tres mesos després de germinar (en cm) segueix una llei normal amb mitjana $\mu = 10$ i desviació típica $\sigma = 1$. Per sota de quin valor límit es troba el 97,5% de les altures de les plantes d'aquesta població?

Pregunta 13. Interval de confiança de Student per a una mitjana

S'han recollit els següents volums (en ml) de contingut de plasma en diverses bosses: 1030, 1020, 1040, 990, 1010, 1000, 1030, 1080. Determineu l'interval de confiança del 95% per a la mitjana poblacional (valors arrodonits a dues xifres decimals):

La longitud d'una planta als tres mesos segueix una distribució normal amb mitjana $\mu = 10\text{ cm}$ i desviació típica $\sigma = 1\text{ cm}$. Calculeu quina fracció de la població presentarà una alçada compresa entre 9 i 12 cm:

Pregunta 15. Comparació d'estadístics de posició central

Donada una mostra qualsevol d'una variable quantitativa, quina de les següents afirmacions és correcta?

Pregunta 16. Contrast de mitjanes per a mostres independents amb variàncies iguals

En un contrast d'hipòtesis per comparar les mitjanes de dues variables normals independents amb variàncies idèntiques, es recullen dues mostres de mides $n_1 = 22$ i $n_2 = 20$ elements. L'estadístic calculat a partir de les dades experimentals és $t = 1{,}50$. Treballant amb una significació del $5\%$, quina és la conclusió?

Pregunta 17. Significació estadística dels coeficients de regressió

Un experiment basat en 62 observacions proporciona la recta de regressió estimada $y = 2{,}44 - 1{,}56x$, essent els errors estàndard dels coeficients $SE(b_0) = 1{,}35$ i $SE(b_1) = 0{,}80$. Amb un nivell de significació $\alpha = 0{,}05$:

18 Pregunta 18. Càlcul de l'estadístic t per a mostres aparellades

En un disseny experimental per comparar dues mitjanes amb dades aparellades, s'obtenen les següents parelles d'observacions:

Mostra 1 · 5 · 7 · 4 · 1

Mostra 2 · 3 · 2 · 3 · 4

Quin és el valor corresponent de l'estadístic $t$ de Student?

Pregunta 19. Aplicabilitat de les proves Odds Ratio i khi-quadrat

Trieu quina afirmació és certa respecte a l'anàlisi de dades categòriques:

Pregunta 20. Criteris formals de decisió en un contrast d'hipòtesis

Assenyaleu quina de les asseveracions següents és correcta: