Examen de Matemàtiques URV 2024 · Prova de (Novembre 2024)

Exercici 1 [3 punts]. Endomorfisme amb paràmetre, nucli i imatge

Sigui $f_a: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3$ l'endomorfisme definit per:$$f_a(x, y, z) = (x + 2y + az,\ x + ay - z,\ x + 2y)$$

a)

Trobeu els valors del paràmetre $a$ pels quals $f_a$ és bijectiu.

b)

Determineu per a quin valor del paràmetre $a$ el vector $(2, -1, 2)$ pertany al nucli $\operatorname{Nuc}(f_a)$.

c)

Calculeu per a quin valor de $a$ el vector $(-2, 1, 0)$ pertany a $\operatorname{Nuc}(f_a) \cap \operatorname{Im}(f_a)$.

Exercici 2 [3 punts]. Valors i vectors propis, potència n-èsima d'una matriu

Donada la matriu:

$$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 2 \\ 0 & 3 & 3 \end{pmatrix}$$

a)

Calculeu els valors propis i els vectors propis de la matriu $A$.

b)

Trobeu l'expressió general de la potència $A^n$ per a tot nombre natural $n \ge 1$.

Exercici 3 [4 punts]. Subespais vectorials depenents d'un paràmetre

Sigui $a \in \mathbb{R}$ un paràmetre real i considerem els subespais de $\mathbb{R}^4$:$$U = \{(a\alpha,\ \beta,\ \alpha - \beta + \gamma,\ \gamma) \mid \alpha, \beta, \gamma \in \mathbb{R}\}$$$$V = \{(x, y, z, t) \in \mathbb{R}^4 \mid x - y - 2z = 0,\ x = at\}$$

Extraieu justificadament en funció del paràmetre $a$ una possible base per a $U + V$ i per a $U \cap V$.

1.

Cas $a = 0$: determineu una base de $U \cap V$ i una base de $U + V$.

2.

Cas $a \neq 0$: determineu una base de $U \cap V$ i una base de $U + V$.