Exercici 3 · Matemàtiques URV 2024

Exercici 3 [4 punts]. Subespais vectorials depenents d'un paràmetre

Sigui $a \in \mathbb{R}$ un paràmetre real i considerem els subespais de $\mathbb{R}^4$:$$U = \{(a\alpha,\ \beta,\ \alpha - \beta + \gamma,\ \gamma) \mid \alpha, \beta, \gamma \in \mathbb{R}\}$$$$V = \{(x, y, z, t) \in \mathbb{R}^4 \mid x - y - 2z = 0,\ x = at\}$$

Extraieu justificadament en funció del paràmetre $a$ una possible base per a $U + V$ i per a $U \cap V$.

1.

Cas $a = 0$: determineu una base de $U \cap V$ i una base de $U + V$.

2.

Cas $a \neq 0$: determineu una base de $U \cap V$ i una base de $U + V$.