Examen de Análisis Matemático I URV 2022 · tercer parcial - Enero 2022

Problema 1. Cálculo de límites

Evalúe los siguientes límites indeterminados, utilizando desarrollos de Taylor al menos en uno de los dos casos:

a.

$$\lim_{x \to 0} \frac{\left(1 + \frac{x^2}{4}\right)^{\frac{3}{2}} - 1}{1 - \cos x}$$

b.

$$\lim_{x \to 0} \frac{-x + \frac{x^3}{6} + \sin x}{x^5}$$

Problema 2. Optimización geométrica

Determine la ecuación de la recta $r$ que contiene al punto $(3, 1)$ de forma que el área del triángulo que delimita con los semiejes cartesianos positivos resulte mínima.

Problema 3. Área delimitada por curvas

Calcule el área de la región del plano acotada por las siguientes curvas:$$y = \sqrt{x}, \quad y = -x + 6, \quad y = 1$$

Problema 4. Volumen de un sólido de revolución

Considere la función:

$$f(x) = \frac{x}{\sqrt{(1-x)(1+x)(1+x^2)}}$$

Halle el volumen del cuerpo de revolución generado al rotar la gráfica de $f(x)$ alrededor del eje cartesiano $X$ en el intervalo $x \in [0, \frac{1}{2}]$.