Examen de Análisis Matemático I URV 2022 · segunda convocatoria - Febrero 2022

Problema 1 (2 puntos). Cálculo de un límite

Calcular el valor del siguiente límite:

$$\lim_{x \to 0} \frac{1 + x^{14} - e^{(x^{14})}}{2\cos(x^7) - 2 + x^{14}}$$

Problema 2 (3 puntos). Optimización de distancias

Hallar las coordenadas del punto perteneciente al eje cartesiano $X$ para el cual la suma de distancias a los puntos $(0, 1)$ y $(2, 2)$ resulte mínima.

Problema 3 (2 puntos). Área de una región plana

Determinar el área de la región acotada por las curvas cuyas ecuaciones vienen dadas por:

$$y = \ln x, \quad y = \sqrt{x}, \quad y = 0, \quad y = 1$$

Problema 4 (3 puntos). Volumen de revolución

Dada la función:

$$f(x) = \frac{x + 1}{\sqrt{(1 - x)(x^2 + x + 1)}}$$

Calcular el volumen del sólido de revolución generado al rotar la gráfica de $f(x)$ en torno al eje cartesiano de abscisas $X$, en el intervalo $x \in [-\frac{1}{2}, 0]$.