Examen de Matemáticas Aplicadas URL 2021 · Segon Parcial (Gener 2021)

Problema 1. Valors propis amb condicions periòdiques

Considereu el següent problema de contorn de valors propis:$$X''(x) = -\lambda X(x), \quad x \in (-1, 1)$$subjecte a les condicions de contorn de tipus periòdic:$$X(-1) = X(1), \quad X'(-1) = X'(1)$$Demostreu detalladament que les úniques funcions pròpies associades a aquest problema són de la forma $\cos(k\pi x)$ per a $k \ge 0$ i $\sin(k\pi x)$ per a $k \ge 1$.

Problema 2. Equació de la calor homogènia

Desenvolupeu el mètode per determinar la solució general del problema de transferència de calor unidimensional amb condicions de contorn homogènies:$$\frac{\partial u}{\partial t} = \kappa \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}, \quad 0 < x < L, \; t > 0 \quad (1)$$$$u(0, t) = 0, \quad u(L, t) = 0, \quad t > 0 \quad (2)$$$$u(x, 0) = f(x), \quad 0 \le x \le L \quad (3)$$on la difusivitat tèrmica $\kappa > 0$ és una constant.

A continuació, determineu l'expressió analítica completa de la solució en cadascun dels següents casos particulars per a la distribució inicial de temperatures:

a)

Temperatura inicial constant: $u(x, 0) = 1$.

b)

Distribució simètrica inicial més càlida al centre: $u(x, 0) = \sin\left(\frac{\pi x}{L}\right)$.

Problema 3. Equació d'ones amb esmorteïment

Considereu la propagació d'ones en un medi amb fricció o esmorteïment lineal, descrita per l'equació en derivades parcials modificada:

$$\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} + \frac{\partial u}{\partial t} = \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}, \quad x \in (0,1), \; t > 0 \quad (4)$$

sotmesa a les condicions de contorn homogènies:

$$u(0,t) = 0, \quad u(1,t) = 0 \quad (5)$$

Es demana:

Trobar totes les solucions separables no trivials de l'equació (4) que compleixin les condicions de contorn (5).

Descriure el comportament temporal i asimptòtic d'aquestes solucions.

Explicar en què es diferencien aquestes solucions respecte de les de l'equació d'ones estàndard no amortida ($u_{tt} = u_{xx}$).