Problema 2 · Matemáticas Aplicadas URL 2021

Tema: Series de Fourier y ecuaciones en derivadas parciales · Del examen Examen Segon Parcial (Gener 2021) (2021)

Enunciado

Problema 2. Equació de la calor homogènia

Desenvolupeu el mètode per determinar la solució general del problema de transferència de calor unidimensional amb condicions de contorn homogènies:∂u∂t=κ∂2u∂x2,0<x<L,  t>0(1)\frac{\partial u}{\partial t} = \kappa \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}, \quad 0 < x < L, \; t > 0 \quad (1)u(0,t)=0,u(L,t)=0,t>0(2)u(0, t) = 0, \quad u(L, t) = 0, \quad t > 0 \quad (2)u(x,0)=f(x),0≤x≤L(3)u(x, 0) = f(x), \quad 0 \le x \le L \quad (3)on la difusivitat tèrmica κ>0\kappa > 0 és una constant.

A continuació, determineu l'expressió analítica completa de la solució en cadascun dels següents casos particulars per a la distribució inicial de temperatures:

a)

Temperatura inicial constant: u(x,0)=1u(x, 0) = 1.

b)

Distribució simètrica inicial més càlida al centre: u(x,0)=sin⁡(πxL)u(x, 0) = \sin\left(\frac{\pi x}{L}\right).

Enunciado: Problema 2 · Matemáticas Aplicadas URL 2021

Solución

Según los criterios oficiales de corrección

Desenvolupeu el mètode per determinar la solució general del problema de transferència de calor unidimensional amb condicions de contorn homogènies

Solución: u(x,t)=∑n=1∞cne−κ(nπL)2tsin⁡(nπxL),cn=2L∫0Lf(x)sin⁡(nπxL)dxu(x,t) = \sum_{n=1}^\infty c_n e^{-\kappa\left(\frac{n\pi}{L}\right)^2 t} \sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right), \quad c_n = \frac{2}{L}\int_0^L f(x)\sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right) dx

a. Temperatura inicial constant: u(x,0)=1u(x, 0) = 1.

Solución: u(x,t)=4π∑m=1∞12m−1e−κ((2m−1)πL)2tsin⁡((2m−1)πxL)u(x,t) = \frac{4}{\pi}\sum_{m=1}^\infty \frac{1}{2m-1}e^{-\kappa\left(\frac{(2m-1)\pi}{L}\right)^2 t}\sin\left(\frac{(2m-1)\pi x}{L}\right)

b. Distribució simètrica inicial més càlida al centre: u(x,0)=sin⁡(πxL)u(x, 0) = \sin\left(\frac{\pi x}{L}\right).

Solución: u(x,t)=e−κ(πL)2tsin⁡(πxL)u(x,t) = e^{-\kappa\left(\frac{\pi}{L}\right)^2 t}\sin\left(\frac{\pi x}{L}\right)

La explicación paso a paso, hecha con IA, es Premium. Premium

Resuélvelo aquí mismo: corrección automática, pistas y solución paso a paso.

‹ Problema 1 · 2021 · Problema 3 · 2021 ›

Más ejercicios de Series de Fourier y ecuaciones en derivadas parciales