Problema 3 · Matemáticas Aplicadas URL 2021

Tema: Series de Fourier y ecuaciones en derivadas parciales · Del examen Examen Segon Parcial (Gener 2021) (2021)

Enunciado

Problema 3. Equació d'ones amb esmorteïment

Considereu la propagació d'ones en un medi amb fricció o esmorteïment lineal, descrita per l'equació en derivades parcials modificada:

∂2u∂t2+∂u∂t=∂2u∂x2,x∈(0,1),  t>0(4)\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} + \frac{\partial u}{\partial t} = \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}, \quad x \in (0,1), \; t > 0 \quad (4)

sotmesa a les condicions de contorn homogènies:

u(0,t)=0,u(1,t)=0(5)u(0,t) = 0, \quad u(1,t) = 0 \quad (5)

Es demana:

Trobar totes les solucions separables no trivials de l'equació (4) que compleixin les condicions de contorn (5).

Descriure el comportament temporal i asimptòtic d'aquestes solucions.

Explicar en què es diferencien aquestes solucions respecte de les de l'equació d'ones estàndard no amortida (utt=uxxu_{tt} = u_{xx}).

Enunciado: Problema 3 · Matemáticas Aplicadas URL 2021

Solución

Según los criterios oficiales de corrección

Trobar totes les solucions separables no trivials de l'equació (4) que compleixin les condicions de contorn (5).

Solución: un(x,t)=e−t/2[Ancos⁡(ωnt)+Bnsin⁡(ωnt)]sin⁡(nπx),amb ωn=4n2π2−12,n=1,2,3,…u_n(x,t) = e^{-t/2} [A_n \cos(\omega_n t) + B_n \sin(\omega_n t)] \sin(n\pi x), \quad \text{amb } \omega_n = \frac{\sqrt{4n^2\pi^2 - 1}}{2}, \quad n = 1, 2, 3, \dots

Descriure el comportament temporal i asimptòtic d'aquestes solucions.

Solución: Oscil·lació esmorteïda amb pseudofreqüència angular ωn=124n2π2−1\omega_n = \frac{1}{2}\sqrt{4n^2\pi^2 - 1} i decaïment exponencial cap a zero quan t→∞t \to \infty: lim⁡t→∞un(x,t)=0\lim_{t \to \infty} u_n(x,t) = 0.

Explicar en què es diferencien aquestes solucions respecte de les de l'equació d'ones estàndard no amortida (u_tt = u_xx).

Solución: 1. Dissipació enfront de conservació d'energia (l'amplitud decau exponencialment en lloc de ser periòdica en el temps). 2. Modificació de la freqüència (la fricció redueix la freqüència: ωn=n2π2−1/4<nπ\omega_n = \sqrt{n^2\pi^2 - 1/4} < n\pi).

La explicación paso a paso, hecha con IA, es Premium. Premium

Resuélvelo aquí mismo: corrección automática, pistas y solución paso a paso.

‹ Problema 2 · 2021 · Exercici 3 · 2018 ›

Más ejercicios de Series de Fourier y ecuaciones en derivadas parciales