Problema 1 · Matemáticas Aplicadas URL 2021

Problema 1. Valors propis amb condicions periòdiques

Considereu el següent problema de contorn de valors propis:$$X''(x) = -\lambda X(x), \quad x \in (-1, 1)$$subjecte a les condicions de contorn de tipus periòdic:$$X(-1) = X(1), \quad X'(-1) = X'(1)$$Demostreu detalladament que les úniques funcions pròpies associades a aquest problema són de la forma $\cos(k\pi x)$ per a $k \ge 0$ i $\sin(k\pi x)$ per a $k \ge 1$.