Examen de Aplicaciones Informáticas URL 2016 · Juny

Pregunta 1 (15%). Resolució d'una equació complexa en forma polar

Trobeu tots els nombres complexos $z \in \mathbb{C}$ que satisfan la relació següent i doneu les solucions expressades en forma polar:

$$z^5 = \frac{i \cdot z^2}{3 + i}$$

Pregunta 2 (10%). Subespai vectorial de matrius antisimètriques reals

Demostreu que el conjunt de les matrius reals $2 \times 2$ antisimètriques ($M^T = -M$) conforma un subespai vectorial $S$ de l'espai vectorial $\mathcal{M}_{2\times 2}(\mathbb{R})$. Calculeu una base de $S$ i indiqueu-ne la dimensió.

1.

Demostració que $S$ és un subespai vectorial (verificació de l'element neutre, estabilitat per a la suma i pel producte per escalars):

2.

Una base $\mathcal{B}_S$ del subespai $S$:

3.

Dimensió de $S$ ($\\dim(S)$):

Pregunta 3 (30%). Transformació lineal entre espais vectorials i canvis de base

Considerem les bases $A = \{a_1, a_2, a_3\}$ de l'espai vectorial $U^3$ i $B = \{b_1, b_2\}$ de l'espai $H^2$, definides en coordenades respecte de les respectives bases canòniques $E_3$ i $E_2$ per:

$$A = \left\{ \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}_{E_3}, \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}_{E_3}, \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}_{E_3} \right\}, \quad B = \left\{ \begin{pmatrix} -2 \\ 3 \end{pmatrix}_{E_2}, \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}_{E_2} \right\}$$

Es defineix l'aplicació lineal $T: U^3 \to H^2$ mitjançant les imatges dels vectors de la base $A$:

$\begin{aligned}

T(a_1) &= b_1 + 3b_2 \\

T(a_2) &= -b_1 + b_2 \\

T(a_3) &= b_1 - 2b_2

\end{aligned}$

a)

Calculeu les coordenades de la imatge del vector $x_A = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ respecte a la base canònica $E_2$:

$y_1 =$

  $y_2 =$

b)

Donada una nova base de $U^3$:

$$P = \left\{ \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}_{E_3}, \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix}_{E_3}, \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix}_{E_3} \right\}$$

Trobeu la matriu de canvi de base d'$E_3$ a $P$ ($P_{PE_3}$) i determineu la representació matricial de l'aplicació lineal en les bases $P$ i $B$ ($T_{BP}$).

Donada la matriu quadrada real:

$$W = \begin{pmatrix} 2 & 1 & -1 \\ -1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}$$

a)

(20%) Determineu els valors propis (VAPS) i els vectors propis (VEPS) de la matriu $W$.

Donada la matriu quadrada real:

$$W = \begin{pmatrix} 2 & 1 & -1 \\ -1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}$$

b)

(15%) Calculeu la matriu $\cos(W)$.