Pregunta 3 · Aplicaciones Informáticas URL Juny 2016

Pregunta 3 (30%). Transformació lineal entre espais vectorials i canvis de base

Considerem les bases $A = \{a_1, a_2, a_3\}$ de l'espai vectorial $U^3$ i $B = \{b_1, b_2\}$ de l'espai $H^2$, definides en coordenades respecte de les respectives bases canòniques $E_3$ i $E_2$ per:

$$A = \left\{ \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}_{E_3}, \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}_{E_3}, \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}_{E_3} \right\}, \quad B = \left\{ \begin{pmatrix} -2 \\ 3 \end{pmatrix}_{E_2}, \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}_{E_2} \right\}$$

Es defineix l'aplicació lineal $T: U^3 \to H^2$ mitjançant les imatges dels vectors de la base $A$:

$\begin{aligned}

T(a_1) &= b_1 + 3b_2 \\

T(a_2) &= -b_1 + b_2 \\

T(a_3) &= b_1 - 2b_2

\end{aligned}$

a)

Calculeu les coordenades de la imatge del vector $x_A = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ respecte a la base canònica $E_2$:

$y_1 =$

  $y_2 =$

b)

Donada una nova base de $U^3$:

$$P = \left\{ \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}_{E_3}, \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix}_{E_3}, \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix}_{E_3} \right\}$$

Trobeu la matriu de canvi de base d'$E_3$ a $P$ ($P_{PE_3}$) i determineu la representació matricial de l'aplicació lineal en les bases $P$ i $B$ ($T_{BP}$).