Problema 1 · Estadística i Optimització UDL Juny 2015

a. Troba l'equació de la recta tangent a la corba en un punt genèric (x, f(x)).

Solución: $y = -\frac{1}{x_0^2}X + \frac{2}{x_0}$ / $y = -\frac{1}{x^2}X + \frac{2}{x}$

b. Demostra que dita tangent talla l'eix d'ordenades en el punt A = (0, 2/x) i l'eix d'abscisses en el punt B = (2x, 0).

Solución: Tall eix ordenades (X = 0): y = 2/x_0 => A = (0, 2/x_0). Tall eix abscisses (y = 0): 0 = -(1/x_0^2)X + 2/x_0 => X = 2x_0 => B = (2x_0, 0).

c. Estableix l'expressió de la funció ℓ(x) que mesura la distància entre els punts A i B.

Solución: $\ell(x) = \sqrt{4x^2 + \frac{4}{x^2}} = 2\sqrt{x^2 + \frac{1}{x^2}}$

d. Optimitza la funció ℓ(x) i determina si el valor òptim obtingut és un màxim o un mínim.

Solución: $x = 1$, mínim, $\ell(1) = 2\sqrt{2}$

Valor mínim de la distància $\ell(x)$:

Solución: 2*sqrt(2) / 2sqrt(2) / 2√2 / sqrt(8) / √8

Tipus d'extrem:

Solución: Mínim