Examen de Álgebra UDL 2022 · Primer parcial novembre 2022

Problema 1 (5 punts). Relació d'ordre en seqüències binàries

Sigui el conjunt de totes les cadenes finites binàries:

$$A = \{s = a_1 a_2 \dots a_n: a_i \in \{0, 1\}\}$$

Sobre aquest conjunt es defineix la relació binària $R$ mitjançant la condició:

$$a_1 a_2 \dots a_n R b_1 b_2 \dots b_m \iff n \le m \quad\text{i}\quad a_i \le b_i, \quad \forall i \le n$$

a.

[1 punt] Trobeu els elements del conjunt $B = \{s \in A: s \not\! R 01 \text{ i } s R 10001\}$.

b.

[0,75 punts] Demostreu formalment que $R$ compleix la propietat antisimètrica.

c.

[0,75 punts] Raoneu si $R$ és un ordre total o parcial sobre $A$.

d.

[2,5 punts] Considereu el subconjunt $S = \{001, 010, 1000, 01001, 11000, 000100, 111000\} \subseteq A$.

Representeu el diagrama de Hasse de $S$ i determineu, en cas que existeixin, el suprem, l'ínfim, el màxim, el mínim, així com els elements maximals i minimals.

Problema 2 (5 punts). Aplicació, propietats i composició

Sigui l'aplicació:

$$f: \mathbb{R} \setminus \{2\} \longrightarrow \mathbb{R}^2$$

$$x \longmapsto \left( \frac{x}{x - 2}, x \right)$$

a.

(1,5 punts) Esbrineu si $f$ és una funció injectiva. Justifiqueu la resposta:

b.

(1,5 punts) Determineu si $f$ és exhaustiva (suprajectiva). Justifiqueu la resposta:

c.

(0,5 punts) Determineu la imatge de la funció, $\operatorname{Im}(f)$:

d.

(0,5 punts) Calculeu l'antiimatge $f^{-1}\left(\left(-4, \frac{8}{5}\right)\right)$:

f −1 ((-4, 8/5)) =

e.

(1 punt) Donada la funció $g: \mathbb{R}^2 \setminus \{x + y = 0\} \longrightarrow \mathbb{R}$ definida per $g(x, y) = \frac{x - y}{x + y}$, determineu i simplifiqueu al màxim la composició $g \circ f$. És possible definir la composició $f \circ g$? Argumenteu la resposta.

$(g \circ f)(x) =$