Problema 2 · Álgebra UDL 2022

Tema: Aplicacions: injectivitat, exhaustivitat, composició i inversa · Del examen Primer parcial novembre 2022 (2022)

Enunciado

Problema 2 (5 punts). Aplicació, propietats i composició

Sigui l'aplicació:

f:R∖{2}⟶R2f: \mathbb{R} \setminus \{2\} \longrightarrow \mathbb{R}^2

x⟼(xx−2,x)x \longmapsto \left( \frac{x}{x - 2}, x \right)

a.

(1,5 punts) Esbrineu si ff és una funció injectiva. Justifiqueu la resposta:

b.

(1,5 punts) Determineu si ff és exhaustiva (suprajectiva). Justifiqueu la resposta:

c.

(0,5 punts) Determineu la imatge de la funció, Im⁡(f)\operatorname{Im}(f):

d.

(0,5 punts) Calculeu l'antiimatge f−1((−4,85))f^{-1}\left(\left(-4, \frac{8}{5}\right)\right):

f −1 ((-4, 8/5)) =

e.

(1 punt) Donada la funció g:R2∖{x+y=0}⟶Rg: \mathbb{R}^2 \setminus \{x + y = 0\} \longrightarrow \mathbb{R} definida per g(x,y)=x−yx+yg(x, y) = \frac{x - y}{x + y}, determineu i simplifiqueu al màxim la composició g∘fg \circ f. És possible definir la composició f∘gf \circ g? Argumenteu la resposta.

(g∘f)(x)=(g \circ f)(x) =

Enunciado: Problema 2 · Álgebra UDL 2022

Solución

Según los criterios oficiales de corrección

a. (1,5 punts) Esbrineu si f és una funció injectiva.

Solución: Sí, és injectiva.

b. (1,5 punts) Determineu si f és exhaustiva (suprajectiva).

Solución: No és exhaustiva.

c. (0,5 punts) Determineu la imatge de la funció, Im(f).

Solución: Im⁡(f)={(xx−2,x):x∈R∖{2}}={(u,v)∈R2:u=vv−2,v≠2}\operatorname{Im}(f) = \left\{\left(\frac{x}{x - 2}, x\right) : x \in \mathbb{R} \setminus \{2\}\right\} = \left\{(u, v) \in \mathbb{R}^2 : u = \frac{v}{v - 2}, v \neq 2\right\}

d. (0,5 punts) Calculeu l'antiimatge f⁻¹((-4, 8/5)).

Solución: {8/5}\{8/5\} / 8/58/5 / {1,6}\{1{,}6\} / 1,61{,}6

e. Determineu i simplifiqueu al màxim la composició g ∘ f.

Solución: 3−xx−1\frac{3 - x}{x - 1}

e. És possible definir la composició f ∘ g? Argumenteu la resposta.

Solución: Sí, és possible restringint el domini als parells (x,y)∈R2(x, y) \in \mathbb{R}^2 tals que x+y≠0x + y \neq 0 i g(x,y)≠2g(x, y) \neq 2.

La explicación paso a paso, hecha con IA, es Premium. Premium

Resuélvelo aquí mismo: corrección automática, pistas y solución paso a paso.

Problema 1 · 2021 ›

Más ejercicios de Aplicacions: injectivitat, exhaustivitat, composició i inversa